Determine uma solução em série de potências para os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime+t^2 y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'' + t^2,y = 0
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
O conteúdo é o método das séries de potências: vamos assumir
y(t)=sumn=0^infty an,t^n
e determinar os coeficientes an via recorrência, usando as condições iniciais.

Passo 2

Calculemos as derivadas em série:
y'(t)=sumn=1^infty n,an,t^n-1, y''(t)=sumn=2^infty n(n-1),an,t^n-2
Também
t^2,y(t)=sumn=0^infty an,t^n+2
Substituindo em y''+t^2y=0 e reindexando para obter potências t^n:

Passo 3

Escrevendo tudo com índice n:
sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,t^n ;+; sumn=2^infty an-2,t^n ;=;0
Para alinhar a segunda soma com a primeira, note que nos termos de ordem t^0 e t^1 só aparece o primeiro somatório. Assim obtemos a relação de recorrência
(2cdot1),a2 =0, (3cdot2),a3 =0, (n+2)(n+1),an+2 + an-2=0, n>=2

Passo 4

Das duas primeiras linhas temos
a2=0, a3=0
Das condições iniciais, y(0)=a0=1 e y'(0)=a1=0.

Passo 5

Para n>=2 a recorrência geral é
an+2 = -an-2(n+2)(n+1)
Como a1=a2=a3=0, todos os coeficientes de ordem ímpar são zero e, entre os pares, apenas os de índice múltiplo de 4 serão não nulos. Calculando alguns:
a4 = -a04cdot3 = -112, a8 = -a48cdot7 = 1672, a12 = -a812cdot11 = -188704, ;dots

Passo 6

Definindo bm = a4m, a recorrência fica
bm+1 = -bm(4m+4)(4m+3), b0=1
Logo a solução em série é
y(t) =summ=0^infty bm,t^4m =1-112,t^4+1672,t^8-188704,t^12+cdots

Resposta

y(t)=1-112,t^4+1672,t^8-188704,t^12+cdots

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