Determine uma solução em série de potências para os seguintes problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condições iniciais e .
O conteúdo é o método das séries de potências: vamos assumir
e determinar os coeficientes via recorrência, usando as condições iniciais.
Passo 2
Calculemos as derivadas em série:
Também
Substituindo em e reindexando para obter potências :
Passo 3
Escrevendo tudo com índice :
Para alinhar a segunda soma com a primeira, note que nos termos de ordem e só aparece o primeiro somatório. Assim obtemos a relação de recorrência
Passo 4
Das duas primeiras linhas temos
a2=0, a3=0
Das condições iniciais, y(0)=a0=1 e y'(0)=a1=0.
Passo 5
Para n>=2 a recorrência geral é
an+2 = -an-2(n+2)(n+1)
Como a1=a2=a3=0, todos os coeficientes de ordem ímpar são zero e, entre os pares, apenas os de índice múltiplo de 4 serão não nulos. Calculando alguns: