Q. 2(2,5 pt) Uma pedra é atirada do telhado de um edifício de altura h com velocidade v0, formando um ângulo alpha0 com a horizontal. Despreze a resistência do ar. Determine a velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo e mostre que essa velocidade não depende do ângulo alpha0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma pedra que é lançada do telhado de um prédio com uma certa velocidade inicial $ v_0 $ e formando um ângulo $ \alpha_0 $ com a horizontal. O prédio tem uma altura $ h $. Precisamos descobrir qual será a velocidade da pedra quando ela bater no chão e mostrar que essa velocidade não depende do ângulo $ \alpha_0 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia que a pedra tem no momento em que é lançada. A pedra possui energia cinética devido à sua velocidade $ v_0 $ e energia potencial gravitacional devido à altura $ h $. A energia cinética inicial é dada por:
v0
E a energia potencial inicial é:
h
Aqui, $ m $ é a massa da pedra e $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Quando a pedra atinge o solo, toda a energia potencial gravitacional foi convertida em energia cinética. Assim, a energia total no momento do impacto será apenas a energia cinética final $ E_{c , final} $:
Ec , final
Onde $ v_{final} $ é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 4

Pela conservação de energia, a energia total no lançamento é igual à energia total no impacto. Então, podemos escrever:
Ec , inicial + Ep , inicial = Ec , final
Substituindo as expressões que encontramos:
12 m v0^2 + m g h = 12 m vfinal^2
Observamos que a massa $ m $ aparece em todos os termos, então podemos cancelá-la:
m

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ v_{final} $:
vfinal
Multiplicando ambos os lados por 2:
12 vfinal^2 = 12 v0^2 + g h
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
vfinal^2 = v0^2 + 2 g h
Perceba que o ângulo $ \alpha_0 $ não aparece em nenhuma parte dessa equação. Isso mostra que a velocidade final $ v_{final} $ não depende do ângulo com o qual a pedra foi lançada.

Resposta

A velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo é:
vfinal = raizv0^2 + 2 g h
E essa velocidade não depende do ângulo $ \alpha_0 $.

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