Seja
um anel no qual
para todo
. Mostre que
é um anel comutativo. (Sugestão: calcule
.)
Como
, temos que
. Por outro lado,
e daí
. Somando-se
aos dois membros da última igualdade, obtemos:
, ou seja,
. Usando o exercício 13, temos
. Portanto,
de onde obtemos que
para quaisquer
, ou seja, o anel
é comutativo.
Passo 1
O enunciado dá: seja
um anel tal que
O que devemos mostrar é que
é comutativo, isto é,
As informações relevantes são: a hipótese
vale para todo elemento do anel; as operações em
obedecem às leis de anel (distributividade, associatividade da adição e multiplicação, existência de elemento neutro aditivo e inversos aditivos, etc.). A sugestão é calcular
.
Passo 2
Vamos expandir
usando distributividade passo a passo. Primeiro,
Aplicando distributividade em cada fator obtemos
Agora distribuindo novamente:
Somando,
Pelo hipótese
e
, isto é
e
. Substituindo,
Passo 3
Pelo próprio enunciado sabemos também que
(porque a propriedade vale para todo elemento, e
é um elemento). Igualando com a expressão obtida no passo anterior,
Subtraindo (ou adicionando os inversos aditivos de)
de ambos os lados obtemos
Portanto, para todos
vale
Mas ainda não concluímos comutatividade — precisamos transformar isso em
. Para isso vamos mostrar que, em
, todo elemento é seu próprio negativo (isto é,
para todo
), o que equivale a mostrar que
para todo
.
Passo 4
Tomemos um elemento arbitrário
. Considere
. Pela hipótese,
Expandindo como fizemos antes,
Como
, cada termo
é
. Então o lado esquerdo é a soma de quatro cópias de
, isto é,
. O lado direito é
. Logo
Subtraindo
dos dois lados (ou somando o inverso aditivo) obtemos
Assim, para todo
vale
. Em particular, para qualquer produto
temos
, o que implica que
pois o inverso aditivo de
é
e somando-os dá
, mas
, então
.
Passo 5
Voltando à igualdade do Passo 3, tínhamos
. Usando agora
do Passo 4, obtemos
Como
e
foram arbitrários, isso vale para quaisquer
. Portanto todos os produtos comutam.