Seja A um anel no qual x^{2}=x para todo x \in A. Mostre que A é um anel comutativo. (Sugestão: calcule (x+y)^{2}.)
Como (x+y)^{2}=x^{2}+x y+y x+y^{2}, temos que (x+y)^{2}=x+x y+y x+y. Por outro lado, (x+y)^{2}=x+y e daí x+x y+y x+y=x+y. Somando-se (-x)+(-y) aos dois membros da última igualdade, obtemos: x+(-x)+x y+y x+y+(-y)=x+(-x)+y+(-y), ou seja, x y+y x=0. Usando o exercício 13, temos y x=-y x. Portanto, x y-y x=0 de onde obtemos que x y=y x para quaisquer x, y \in A, ou seja, o anel A é comutativo.

Passo 1

O enunciado dá: seja A um anel tal que
x^{2}=x\quad\text{para todo }x\in A.
O que devemos mostrar é que A é comutativo, isto é,
xy=yx\quad\text{para quaisquer }x,y\in A.
As informações relevantes são: a hipótese x^{2}=x vale para todo elemento do anel; as operações em A obedecem às leis de anel (distributividade, associatividade da adição e multiplicação, existência de elemento neutro aditivo e inversos aditivos, etc.). A sugestão é calcular (x+y)^{2}.

Passo 2

Vamos expandir (x+y)^{2} usando distributividade passo a passo. Primeiro,
(x+y)^{2}=(x+y)(x+y).
Aplicando distributividade em cada fator obtemos
(x+y)(x+y)=x(x+y)+y(x+y).
Agora distribuindo novamente:
x(x+y)=xx+xy\quad\text{e}\quad y(x+y)=yx+yy.
Somando,
(x+y)^{2}=xx+xy+yx+yy.
Pelo hipótese x^{2}=x e y^{2}=y, isto é xx=x e yy=y. Substituindo,
(x+y)^{2}=x+xy+yx+y.

Passo 3

Pelo próprio enunciado sabemos também que (x+y)^{2}=x+y (porque a propriedade vale para todo elemento, e x+y é um elemento). Igualando com a expressão obtida no passo anterior,
x+xy+yx+y = x+y.
Subtraindo (ou adicionando os inversos aditivos de) x+y de ambos os lados obtemos
xy+yx=0.
Portanto, para todos x,y\in A vale
xy = -\,yx.
Mas ainda não concluímos comutatividade — precisamos transformar isso em xy=yx. Para isso vamos mostrar que, em A, todo elemento é seu próprio negativo (isto é, a=-a para todo a), o que equivale a mostrar que 2a=0 para todo a.

Passo 4

Tomemos um elemento arbitrário a\in A. Considere (a+a)^{2}. Pela hipótese,
(a+a)^{2}=a+a.
Expandindo como fizemos antes,
(a+a)^{2}=aa+aa+aa+aa.
Como aa=a^{2}=a, cada termo aa é a. Então o lado esquerdo é a soma de quatro cópias de a, isto é, 4a. O lado direito é 2a. Logo
4a=2a.
Subtraindo 2a dos dois lados (ou somando o inverso aditivo) obtemos
2a=0.
Assim, para todo a\in A vale 2a=0. Em particular, para qualquer produto yx temos 2(yx)=0, o que implica que
-yx=yx,
pois o inverso aditivo de yx é -yx e somando-os dá yx+(-yx)=0, mas yx+yx=2(yx)=0, então -yx= yx.

Passo 5

Voltando à igualdade do Passo 3, tínhamos xy=-yx. Usando agora -yx=yx do Passo 4, obtemos
xy = -yx = yx.
Como x e y foram arbitrários, isso vale para quaisquer x,y\in A. Portanto todos os produtos comutam.

Resposta

xy=yx para quaisquer x,y\in A, ou seja, o anel A é comutativo.

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