No anel \mathbb{Z}_{8}, determine todas as soluções da equação x^{2}-\overline{1}=\overline{0}.
Em todo anel comutativo, é válido o seguinte produto notável: (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}. Logo, a equação dada pode ser escrita na forma (x+\overline{1})(x-\overline{1})=\overline{0}. Portanto, duas soluções são obtidas quando x+\overline{1}=\overline{0} ou quando x-\overline{1}=\overline{0}, ou seja, quando x=-\overline{1}=\overline{7} ou x=\overline{1}. Em um anel de integridade, essas seriam as únicas soluções. Mas \mathbb{Z}_{8} não é anel de integridade porque seus divisores de zero não-nulos são \overline{2}, \overline{4} e \overline{6}. Logo, também podemos obter soluções da equação dada quando x+\overline{1} ou x-\overline{1} coincidem com esses divisores de zero não-nulos. Dessa forma, obtemos as seguintes possíveis soluções:
x+\overline{1}=\overline{2} x=\overline{1}
x+\overline{1}=\overline{4} x=\overline{3}
x+\overline{1}=\overline{6} x=\overline{5}
x-\overline{1}=\overline{2} x=\overline{3}
x-\overline{1}=\overline{4} x=\overline{5}
x-\overline{1}=\overline{6} x=\overline{7}
Por substituição direta verifica-se que todos estes elementos são solução da equação. Portanto, o conjunto solução da equação x^{2}-\overline{1}=\overline{0}, no anel \mathbb{Z}_{8}, é \{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\}.
Passo 1
O que o problema pede: determinar todas as soluções de
x^{2}-\overline{1}=\overline{0}
no anel \mathbb{Z}_{8}.
Informações relevantes fornecidas (e/ou óbvias do enunciado):
O anel é \mathbb{Z}_{8}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6},\overline{7}\}.
A identidade algébrica válida em qualquer anel comutativo:
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2},
logo a equação pode ser reescrita como
(x+\overline{1})(x-\overline{1})=\overline{0}.
O anel \mathbb{Z}_{8} não é um anel de integridade; os divisores de zero não-nulos em \mathbb{Z}_{8} incluem \overline{2},\overline{4},\overline{6} (por exemplo \overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{8}=\overline{0}).
Passo 2
Interpretação da fatoração e o papel dos divisores de zero.
Explicando devagarinho: quando temos em um anel
(a)(b)=\overline{0},
duas possibilidades ocorrem em geral:
se o anel for um anel de integridade, então necessariamente a=\overline{0} ou b=\overline{0};
se o anel não for de integridade (como \mathbb{Z}_{8}), pode acontecer que nem a nem b sejam \overline{0}, mas um dos dois (ou ambos) seja um divisor de zero não-nulo, fazendo o produto ser \overline{0}.
No nosso caso temos
(x+\overline{1})(x-\overline{1})=\overline{0}.
Assim as soluções podem vir de:
x+\overline{1}=\overline{0} ou x-\overline{1}=\overline{0} (caso análogo ao de anel de integridade), ou
dos casos em que x+\overline{1} e x-\overline{1} são divisores de zero cujos produtos dão \overline{0}.
Antes de correr atrás de todas essas combinações, é prático e seguro calcular diretamente os quadrados em \mathbb{Z}_{8} — é rápido e evita esquecer algum caso.
Passo 3
Calcular todos os quadrados em \mathbb{Z}_{8} (tabela simples).
Vou calcular \overline{a}^{2} para a=0,1,\dots,7, reduzindo módulo 8.
\overline{0}^{2}=\overline{0}
\overline{1}^{2}=\overline{1}
\overline{2}^{2}=\overline{4}
\overline{3}^{2}=\overline{9}=\overline{1}
\overline{4}^{2}=\overline{16}=\overline{0}
\overline{5}^{2}=\overline{25}=\overline{1}
\overline{6}^{2}=\overline{36}=\overline{4}
\overline{7}^{2}=\overline{49}=\overline{1}
Comentário didático: reparou que os quadrados só deram \overline{0},\overline{1},\overline{4}? Isso é característico de \mathbb{Z}_{8}: os quadrados mod 8 só podem ser 0,1,4.
Passo 4
Encontrar quais x satisfazem \;x^{2}-\overline{1}=\overline{0}, i.e. \;x^{2}=\overline{1}.
Da tabela do passo anterior, os elementos cujo quadrado é \overline{1} são
Assim confirmamos que exatamente \overline{1},\overline{3},\overline{5},\overline{7} satisfazem a equação.
Passo 6
Relacionando isso com a fatoração e os divisores de zero (insight extra, útil para a prova).
Para x=\overline{1} temos x-\overline{1}=\overline{0}, então evidentemente (x+\overline{1})(x-\overline{1})=\overline{0}.
Para x=\overline{7} temos x+\overline{1}=\overline{0}, idem.
Para x=\overline{3}: x+\overline{1}=\overline{4} e x-\overline{1}=\overline{2}. Aqui \overline{4} e \overline{2} são divisores de zero e \overline{4}\cdot\overline{2}=\overline{8}=\overline{0}, então o produto é zero mesmo sem nenhum fator ser \overline{0}.
Para x=\overline{5}: x+\overline{1}=\overline{6} e x-\overline{1}=\overline{4}. Novamente \overline{6}\cdot\overline{4}=\overline{24}=\overline{0}.
Esse par de observações explica por que, diferente de um anel de integridade, aqui aparecem as quatro soluções (duas vindas de fatores nulos e duas vindas de fatores que são divisores de zero cujo produto anula).
Passo 7
Dica prática para prova (resumindo o método que você pode usar rapidamente):
Método rápido e seguro: calcular os quadrados de 0 a 7 em \mathbb{Z}_{8} e ver quais dão \overline{1}.
Interpretação via fatoração: use (x+\overline{1})(x-\overline{1})=\overline{0} e lembre dos divisores de zero em \mathbb{Z}_{8} para justificar por que podem surgir soluções além de x=\pm\overline{1}.