Um corpo de
é conectado a uma mola que tem constante elástica de
. O efeito da resistência do ar é modelado por uma força do tipo -
. (a) Mostre que o sistema oscila. Determine: (b) a frequência de oscilação do sistema. Se agora o sistema massa-mola é impulsionado por uma força externa
, onde a frequência
é ajustável, determine, para o regime estacionário: (c) a frequência de oscilação do sistema; (d) a amplitude da oscilação quando o sistema é impulsionado com uma frequência igual a metade da frequência de ressonância do sistema.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- massa:
. - constante elástica da mola:
. - coeficiente de amortecimento (força viscosa):
. - força externa para a segunda parte:
, com ajustável.
O enunciado pede:
(a) mostrar que o sistema oscila;
(b) determinar a frequência de oscilação do sistema (no caso livre amortecido);
(c) no regime estacionário com a força externa aplicada, dizer qual é a frequência de oscilação do sistema;
(d) determinar a amplitude da oscilação no regime estacionário quando o sistema é forçado com a frequência igual à metade da frequência de ressonância do sistema.
(a) mostrar que o sistema oscila;
(b) determinar a frequência de oscilação do sistema (no caso livre amortecido);
(c) no regime estacionário com a força externa aplicada, dizer qual é a frequência de oscilação do sistema;
(d) determinar a amplitude da oscilação no regime estacionário quando o sistema é forçado com a frequência igual à metade da frequência de ressonância do sistema.
Passo 2
Modelo matemático e equação do movimento — ensinando passo a passo.
Para um sistema massa-mola com amortecimento linear e força externa, a equação diferencial que descreve a posição
é:
Aqui:
-
é a aceleração (segunda derivada no tempo), -
é a velocidade (primeira derivada), -
é a força inercial, -
é a força de atrito viscoso (oposta ao movimento), -
é a força restauradora da mola, -
é a força externa aplicada.
Para estudar se o sistema oscila (parte (a)) consideramos primeiro o caso sem força externa, isto é
. A equação homogênea fica:
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica:
As raízes
determinam o comportamento temporal: se as raízes são complexas com parte real negativa, o sistema é oscilatório amortecido; se são reais negativas, o movimento não oscila (decai monotonicamente).
Passo 3
Condições numéricas e verificação do caráter das raízes.
Calculemos os parâmetros importantes:
- frequência natural quadrada (sem amortecimento):
. Com os dados,
- taxa de amortecimento (meio-coeficiente):
. Com os dados,
A discriminante da equação característica é
. Alternativamente, com
usamos a comparação entre
e
. O regime é:
- subamortecido (oscila) se
, - criticamente amortecido se
, - sobreamortecido se
.
Calculemos numericamente:
Como
, temos
. Portanto o sistema é subamortecido: as raízes são complexas conjugadas com parte real negativa — o movimento livre é oscilatório com amplitude decrescente. Isto responde (a): o sistema oscila (é subamortecido).
Passo 4
Frequência do oscilador livre amortecido — derivação da expressão e cálculo numérico (parte (b)).
Quando o sistema é subamortecido, as soluções homogêneas têm a forma exponencial amortecida multiplicada por uma oscilação harmônica. A frequência angular das oscilações amortecidas é
Explicando a fórmula:
é a frequência angular natural sem amortecimento; o amortecimento reduz um pouquinho a frequência real de oscilações, e a redução aparece subtraindo
.
Calculemos numericamente:
(mas não precisamos desse valor com muita precisão — a expressão final usa
),
A frequência em ciclos por segundo (Hz) é
:
Portanto, a oscilação livre amortecida tem frequência angular
e frequência em Hz
.
Passo 5
Resposta física para o regime forçado no estado estacionário — qual é a frequência de oscilação (parte (c)).
Quando se aplica uma força periódica
, a solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução transiente (aquela que vem da parte homogênea e decai no caso amortecido) e de uma solução particular periódica forçada. No regime estacionário (após os transientes terem morrido), fica apenas a resposta forçada.
Uma propriedade fundamental da resposta forçada linear é: no regime estacionário a massa oscila exatamente com a frequência da força aplicada. Em outras palavras, a frequência angular da oscilação no regime estacionário é igual a
. A amplitude e a defasagem dependem de
, mas a frequência de oscilação é a da força.
Logo a resposta para (c) é: a frequência de oscilação no regime estacionário é
(ou, em ciclos por segundo,
).
Passo 6
Derivação da amplitude no regime estacionário (fórmula que vamos usar para (d)), explicando cada termo.
Procuramos uma solução particular da forma
. Substituindo na equação e fazendo contas (ou usando métodos de fasores), obtemos que a amplitude
é dada por:
onde:
-
é a amplitude da força aplicada (aqui ), -
é a massa, -
, -
.
Explicação física: o denominador tem duas contribuições — a parte
vem da diferença entre a tendência da mola (restauração) e a excitação, e a parte
vem da dissipação de energia pelo amortecimento; juntas controlam o quanto a força consegue gerar deslocamento.
Passo 7
Frequência de ressonância (importante para (d)).
A frequência angular que maximiza a amplitude
(para amortecimento pequeno) é chamada de frequência de ressonância
. Para um oscilador linear amortecido,
Observação: para amortecimento muito pequeno
; existe diferença entre
(frequência natural não-amortecida),
(frequência do decaimento oscilatório livre) e
(frequência que dá amplitude máxima na resposta forçada).
Calculemos
numericamente:
Passo 8
Cálculo da amplitude para
(parte (d)) — passo a passo numérico.
Primeiro definimos
pedido:
(para exatidão algébrica conveniente, note que
.)
Agora usamos a fórmula da amplitude com
e
, e
:
Calculemos cada termo cuidadosamente (mostrar contas para poder reproduzir na prova sem calculadora em passos lógicos):
Somando as duas parcelas:
A raiz quadrada desse número é aproximadamente
Finalmente,
Portanto, quando a força externa tem frequência igual a metade da frequência de ressonância, a amplitude de regime estacionário é aproximadamente
(ou
).
Resposta
(a) Sim — o sistema é subamortecido (oscila).
(b) Frequência angular do oscilador livre amortecido: . Frequência em Hz:
(c) No regime estacionário forçado a frequência de oscilação é igual à da força aplicada: .
(d) Amplitude no regime estacionário para :
(aprox.
).
(b) Frequência angular do oscilador livre amortecido:
(c) No regime estacionário forçado a frequência de oscilação é igual à da força aplicada:
(d) Amplitude no regime estacionário para