2(2,5) Um corpo de 1,0 \mathrm{~kg} é conectado a uma mola que tem constante elástica de 2,0 \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O efeito da resistência do ar é modelado por uma força do tipo - b v, c o m b=3,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. (a) Mostre que o sistema oscila. Determine: (b) a frequência de oscilação do sistema. Se agora o sistema massa-mola é impulsionado por uma força externa F_{e}=(100 N) \cos \left(\omega_{e} t\right), onde a frequência \omega_{e} é ajustável, determine, para o regime estacionário: (c) a frequência de oscilação do sistema; (d) a amplitude da oscilação quando o sistema é impulsionado com uma frequência igual a metade da frequência de ressonância do sistema.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • massa: m=1{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • constante elástica da mola: k=2{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}.
  • coeficiente de amortecimento (força viscosa): b=3{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
  • força externa para a segunda parte: F_e(t)=(100\\ \mathrm{N})\cos(\omega_e t), com \omega_e ajustável.
O enunciado pede:
(a) mostrar que o sistema oscila;
(b) determinar a frequência de oscilação do sistema (no caso livre amortecido);
(c) no regime estacionário com a força externa aplicada, dizer qual é a frequência de oscilação do sistema;
(d) determinar a amplitude da oscilação no regime estacionário quando o sistema é forçado com a frequência igual à metade da frequência de ressonância do sistema.

Passo 2

Modelo matemático e equação do movimento — ensinando passo a passo.
Para um sistema massa-mola com amortecimento linear e força externa, a equação diferencial que descreve a posição x(t) é:
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_e(t).
Aqui:
  • \ddot{x} é a aceleração (segunda derivada no tempo),
  • \dot{x} é a velocidade (primeira derivada),
  • m\ddot{x} é a força inercial,
  • b\dot{x} é a força de atrito viscoso (oposta ao movimento),
  • kx é a força restauradora da mola,
  • F_e(t) é a força externa aplicada.
Para estudar se o sistema oscila (parte (a)) consideramos primeiro o caso sem força externa, isto é F_e(t)=0. A equação homogênea fica:
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0.
Procuramos soluções do tipo x(t)=e^{\lambda t}. Substituindo obtemos a equação característica:
m\lambda^2+b\lambda+k=0.
As raízes \lambda determinam o comportamento temporal: se as raízes são complexas com parte real negativa, o sistema é oscilatório amortecido; se são reais negativas, o movimento não oscila (decai monotonicamente).

Passo 3

Condições numéricas e verificação do caráter das raízes.
Calculemos os parâmetros importantes:
  • frequência natural quadrada (sem amortecimento): \omega_0^2=\dfrac{k}{m}. Com os dados,
\omega_0^2=\dfrac{2{,}0\times10^{3}}{1{,}0}=2000\quad\Rightarrow\quad \omega_0=\sqrt{2000}.
  • taxa de amortecimento (meio-coeficiente): \gamma=\dfrac{b}{2m}. Com os dados,
\gamma=\dfrac{3{,}0}{2\cdot1{,}0}=1{,}5\\ \mathrm{s^{-1}}.
A discriminante da equação característica é b^2-4mk. Alternativamente, com \gamma usamos a comparação entre \gamma^2 e \omega_0^2. O regime é:
  • subamortecido (oscila) se \gamma^2<\omega_0^2,
  • criticamente amortecido se \gamma^2=\omega_0^2,
  • sobreamortecido se \gamma^2>\omega_0^2.
Calculemos numericamente:
\gamma^2=(1{,}5)^2=2{,}25,\qquad \omega_0^2=2000.
Como 2{,}25<2000, temos \gamma^2<\omega_0^2. Portanto o sistema é subamortecido: as raízes são complexas conjugadas com parte real negativa — o movimento livre é oscilatório com amplitude decrescente. Isto responde (a): o sistema oscila (é subamortecido).

Passo 4

Frequência do oscilador livre amortecido — derivação da expressão e cálculo numérico (parte (b)).
Quando o sistema é subamortecido, as soluções homogêneas têm a forma exponencial amortecida multiplicada por uma oscilação harmônica. A frequência angular das oscilações amortecidas é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.
Explicando a fórmula: \omega_0 é a frequência angular natural sem amortecimento; o amortecimento reduz um pouquinho a frequência real de oscilações, e a redução aparece subtraindo \gamma^2.
Calculemos numericamente:
\omega_0=\sqrt{2000}\approx 44{,}721\\ \mathrm{s^{-1}}
(mas não precisamos desse valor com muita precisão — a expressão final usa \omega_0^2),
\omega_d=\sqrt{2000-2{,}25}=\sqrt{1997{,}75}\approx 44{,}696\\ \mathrm{s^{-1}}.
A frequência em ciclos por segundo (Hz) é f_d=\dfrac{\omega_d}{2\pi}:
f_d=\dfrac{44{,}696}{2\pi}\approx 7{,}115\\ \mathrm{Hz}.
Portanto, a oscilação livre amortecida tem frequência angular \omega_d\approx 44{,}696\\ \mathrm{s^{-1}} e frequência em Hz f_d\approx 7{,}115\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Resposta física para o regime forçado no estado estacionário — qual é a frequência de oscilação (parte (c)).
Quando se aplica uma força periódica F_e(t)=(F_0)\cos(\omega_e t), a solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução transiente (aquela que vem da parte homogênea e decai no caso amortecido) e de uma solução particular periódica forçada. No regime estacionário (após os transientes terem morrido), fica apenas a resposta forçada.
Uma propriedade fundamental da resposta forçada linear é: no regime estacionário a massa oscila exatamente com a frequência da força aplicada. Em outras palavras, a frequência angular da oscilação no regime estacionário é igual a \omega_e. A amplitude e a defasagem dependem de \omega_e, mas a frequência de oscilação é a da força.
Logo a resposta para (c) é: a frequência de oscilação no regime estacionário é \omega_e (ou, em ciclos por segundo, \dfrac{\omega_e}{2\pi}).

Passo 6

Derivação da amplitude no regime estacionário (fórmula que vamos usar para (d)), explicando cada termo.
Procuramos uma solução particular da forma x_p(t)=X\cos(\omega_e t-\varphi). Substituindo na equação e fazendo contas (ou usando métodos de fasores), obtemos que a amplitude X é dada por:
X(\omega_e)=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_e^2)^2+(2\gamma\omega_e)^2}},
onde:
  • F_0 é a amplitude da força aplicada (aqui F_0=100\\ \mathrm{N}),
  • m é a massa,
  • \omega_0^2=k/m,
  • \gamma=b/(2m).
Explicação física: o denominador tem duas contribuições — a parte (\omega_0^2-\omega_e^2)^2 vem da diferença entre a tendência da mola (restauração) e a excitação, e a parte (2\gamma\omega_e)^2 vem da dissipação de energia pelo amortecimento; juntas controlam o quanto a força consegue gerar deslocamento.

Passo 7

Frequência de ressonância (importante para (d)).
A frequência angular que maximiza a amplitude X(\omega_e) (para amortecimento pequeno) é chamada de frequência de ressonância \omega_r. Para um oscilador linear amortecido,
\omega_r=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}.
Observação: para amortecimento muito pequeno \omega_r\approx\omega_0; existe diferença entre \omega_0 (frequência natural não-amortecida), \omega_d (frequência do decaimento oscilatório livre) e \omega_r (frequência que dá amplitude máxima na resposta forçada).
Calculemos \omega_r numericamente:
\omega_r=\sqrt{2000-2(1{,}5)^2}=\sqrt{2000-4{,}5}=\sqrt{1995{,}5}\approx 44{,}671\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 8

Cálculo da amplitude para \omega_e=\dfrac{\omega_r}{2} (parte (d)) — passo a passo numérico.
Primeiro definimos \omega_e pedido:
\omega_e=\frac{\omega_r}{2}\approx \frac{44{,}671}{2}=22{,}336\\ \mathrm{s^{-1}}.
(para exatidão algébrica conveniente, note que \omega_e^2=(\omega_r/2)^2=\dfrac{\omega_r^2}{4}=\dfrac{1995{,}5}{4}=498{,}875.)
Agora usamos a fórmula da amplitude com F_0=100\\ \mathrm{N} e m=1{,}0\\ \mathrm{kg}, e \gamma=1{,}5\\ \mathrm{s^{-1}}:
X(\omega_e)=\frac{100/1{,}0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_e^2)^2+(2\gamma\omega_e)^2}}=\frac{100}{\sqrt{(2000-498{,}875)^2+(3\cdot\omega_e)^2}}.
Calculemos cada termo cuidadosamente (mostrar contas para poder reproduzir na prova sem calculadora em passos lógicos):
\omega_0^2-\omega_e^2=2000-498{,}875=1501{,}125.
(\omega_0^2-\omega_e^2)^2=(1501{,}125)^2\approx 2{,}253{,}376{,}265625.
(2\gamma\omega_e)^2=(3\omega_e)^2=9\omega_e^2=9\times498{,}875=4{,}489{,}875.
Somando as duas parcelas:
(\omega_0^2-\omega_e^2)^2+(2\gamma\omega_e)^2\approx 2{,}253{,}376{,}265625+4{,}489{,}875=2{,}257{,}866{,}140625.
A raiz quadrada desse número é aproximadamente
\sqrt{2{,}257{,}866{,}140625}\approx 1502{,}62.
Finalmente,
X(\omega_e)=\frac{100}{1502{,}62}\approx 0{,}0666\\ \mathrm{m}=6{,}66\\ \mathrm{cm}.
Portanto, quando a força externa tem frequência igual a metade da frequência de ressonância, a amplitude de regime estacionário é aproximadamente 0{,}0666\\ \mathrm{m} (ou 6{,}66\\ \mathrm{cm}).

Resposta

(a) Sim — o sistema é subamortecido (oscila).
(b) Frequência angular do oscilador livre amortecido: \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\approx 44{,}696\\ \mathrm{s^{-1}}. Frequência em Hz: f_d=\dfrac{\omega_d}{2\pi}\approx 7{,}115\\ \mathrm{Hz}.
(c) No regime estacionário forçado a frequência de oscilação é igual à da força aplicada: \omega_{\text{osc}}=\omega_e.
(d) Amplitude no regime estacionário para \omega_e=\dfrac{\omega_r}{2}: X\approx 0{,}0666\\ \mathrm{m} (aprox. 6{,}66\\ \mathrm{cm}).

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