Problema: Um automóvel de massa total 1000 kg viaja a
em uma estrada. Cada pneu do carro pode ser aproximado por um cilindro oco de raio interno
e raio externo
, com massa de 20 kg .
a) Qual é o momento de inércia de cada pneu?
b) Qual é a energia cinética de translação do carro?
c) Qual é a energia cinética de rotação de cada pneu?
d) Qual é a razão entre a energia cinética total de rotação dos 4 pneus e a energia cinética de translação do carro?
a) Qual é o momento de inércia de cada pneu?
b) Qual é a energia cinética de translação do carro?
c) Qual é a energia cinética de rotação de cada pneu?
d) Qual é a razão entre a energia cinética total de rotação dos 4 pneus e a energia cinética de translação do carro?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades listadas abaixo.
Dados fornecidos:
- Massa total do automóvel:
. - Velocidade do automóvel:
. - Cada pneu pode ser aproximado por um cilindro oco (casca cilíndrica) com:
- massa do pneu:
, - raio interno:
, - raio externo:
.
- massa do pneu:
- Número de pneus:
.
Perguntas do enunciado:
a) Qual é o momento de inércia de cada pneu?
b) Qual é a energia cinética de translação do carro?
c) Qual é a energia cinética de rotação de cada pneu?
d) Qual é a razão entre a energia cinética total de rotação dos 4 pneus e a energia cinética de translação do carro?
a) Qual é o momento de inércia de cada pneu?
b) Qual é a energia cinética de translação do carro?
c) Qual é a energia cinética de rotação de cada pneu?
d) Qual é a razão entre a energia cinética total de rotação dos 4 pneus e a energia cinética de translação do carro?
Observação útil para resolver: assumiremos que os pneus estão rolando sem deslizar, logo a velocidade linear
do carro relaciona-se com a velocidade angular dos pneus
por
(usa-se o raio externo
que toca o solo).
Passo 2
Converter a velocidade para unidades SI (metros por segundo), porque todas as fórmulas de energia e momento de inércia exigem unidades do SI.
Fórmula de conversão:
Aplicando ao dado:
Passo 3
Calcular o momento de inércia de um cilindro oco (casca cilíndrica) em torno do eixo central.
Conceito e fórmula: para um cilindro oco homogêneo com massa
, raio interno
e raio externo
, o momento de inércia em relação ao eixo longitudinal é dado por
Explicando a fórmula de forma simples: o momento de inércia mede a “dificuldade” de girar o objeto; para um anel fino seria
, mas quando há espessura radial (de
a
) integra-se a distribuição de massa e resulta nessa média quadrática dos raios multiplicada por
.
Aplicando aos pneus:
Calcule os quadrados:
Somando:
Continuando:
Passo 4
Calcular a energia cinética de translação do carro.
Conceito e fórmula: energia cinética de translação de um corpo de massa
que se move com velocidade
é
onde
é a massa total que está se deslocando e
a velocidade do centro de massa.
Aplicando:
Calcule
:
Logo
(Arredondando com três algarismos significativos:
.)
Passo 5
Determinar a velocidade angular
dos pneus a partir da condição de rolamento sem deslize.
Relação sem deslizamento:
Aplicando valores:
Explanação curta:
em rad/s multiplicado pelo raio em metros dá velocidade linear em m/s; portanto dividir
por
dá
.
Passo 6
Calcular a energia cinética de rotação de cada pneu.
Fórmula: energia cinética rotacional de um corpo rígido com momento de inércia
e velocidade angular
é
Aplicando para um pneu usando
e
:
Calcule
:
Portanto
Passo 7
Calcular a energia cinética de rotação total dos 4 pneus e a razão pedida.
Energia rotacional total:
Razão entre energia rotacional total dos pneus e energia de translação do carro:
Interpretando: isso significa que a energia rotacional dos quatro pneus é cerca de
da energia de translação do carro.
Resposta
a)
b)
c)
d) (aprox.
)
b)
c)
d)