Problema: Um automóvel de massa total 1000 kg viaja a 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em uma estrada. Cada pneu do carro pode ser aproximado por um cilindro oco de raio interno \mathrm{R}_{1}=25 \mathrm{~cm} e raio externo \mathrm{R}_{2}=35 \mathrm{~cm}, com massa de 20 kg .
a) Qual é o momento de inércia de cada pneu?
b) Qual é a energia cinética de translação do carro?
c) Qual é a energia cinética de rotação de cada pneu?
d) Qual é a razão entre a energia cinética total de rotação dos 4 pneus e a energia cinética de translação do carro?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades listadas abaixo.
Dados fornecidos:
  • Massa total do automóvel: M=1000\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade do automóvel: v=100\\ \mathrm{km/h}.
  • Cada pneu pode ser aproximado por um cilindro oco (casca cilíndrica) com:
    • massa do pneu: m_{\text{pneu}}=20\\ \mathrm{kg},
    • raio interno: R_{1}=25\\ \mathrm{cm}=0,25\\ \mathrm{m},
    • raio externo: R_{2}=35\\ \mathrm{cm}=0,35\\ \mathrm{m}.
  • Número de pneus: 4.
Perguntas do enunciado:
a) Qual é o momento de inércia de cada pneu?
b) Qual é a energia cinética de translação do carro?
c) Qual é a energia cinética de rotação de cada pneu?
d) Qual é a razão entre a energia cinética total de rotação dos 4 pneus e a energia cinética de translação do carro?
Observação útil para resolver: assumiremos que os pneus estão rolando sem deslizar, logo a velocidade linear v do carro relaciona-se com a velocidade angular dos pneus \omega por v=\omega R_{2} (usa-se o raio externo R_{2} que toca o solo).

Passo 2

Converter a velocidade para unidades SI (metros por segundo), porque todas as fórmulas de energia e momento de inércia exigem unidades do SI.
Fórmula de conversão:
1\\ \mathrm{km/h}=\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=\frac{1}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}.
Aplicando ao dado:
v = 100\\ \mathrm{km/h} = \frac{100}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} \approx 27{,}78\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular o momento de inércia de um cilindro oco (casca cilíndrica) em torno do eixo central.
Conceito e fórmula: para um cilindro oco homogêneo com massa m, raio interno R_{1} e raio externo R_{2}, o momento de inércia em relação ao eixo longitudinal é dado por
I=\frac{1}{2}\,m\left(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right).
Explicando a fórmula de forma simples: o momento de inércia mede a “dificuldade” de girar o objeto; para um anel fino seria mR^{2}, mas quando há espessura radial (de R_{1} a R_{2}) integra-se a distribuição de massa e resulta nessa média quadrática dos raios multiplicada por m/2.
Aplicando aos pneus:
I_{\text{pneu}}=\frac{1}{2}\cdot 20\\ \mathrm{kg}\cdot\big(0{,}25^{2}+0{,}35^{2}\big)\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcule os quadrados:
0{,}25^{2}=0{,}0625,\qquad 0{,}35^{2}=0{,}1225.
Somando:
0{,}0625+0{,}1225=0{,}1850.
Continuando:
I_{\text{pneu}}=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 0{,}1850 =10\cdot 0{,}1850=1{,}85\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 4

Calcular a energia cinética de translação do carro.
Conceito e fórmula: energia cinética de translação de um corpo de massa M que se move com velocidade v é
K_{\text{trans}}=\frac{1}{2}\,M\,v^{2},
onde M é a massa total que está se deslocando e v a velocidade do centro de massa.
Aplicando:
K_{\text{trans}}=\frac{1}{2}\cdot 1000\\ \mathrm{kg}\cdot\big(27{,}78\\ \mathrm{m/s}\big)^{2}.
Calcule v^{2}:
\big(27{,}78\big)^{2}\approx 771{,}60\\ \mathrm{(m/s)^{2}}.
Logo
K_{\text{trans}}=500\cdot 771{,}60 \approx 385\,800\\ \mathrm{J}.
(Arredondando com três algarismos significativos: K_{\text{trans}}\approx 3{,}86\times 10^{5}\\ \mathrm{J}.)

Passo 5

Determinar a velocidade angular \omega dos pneus a partir da condição de rolamento sem deslize.
Relação sem deslizamento:
v=\omega R_{2}\quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{v}{R_{2}}.
Aplicando valores:
\omega=\frac{27{,}78\\ \mathrm{m/s}}{0{,}35\\ \mathrm{m}}\approx 79{,}37\\ \mathrm{rad/s}.
Explanação curta: \omega em rad/s multiplicado pelo raio em metros dá velocidade linear em m/s; portanto dividir v por R_{2} \omega.

Passo 6

Calcular a energia cinética de rotação de cada pneu.
Fórmula: energia cinética rotacional de um corpo rígido com momento de inércia I e velocidade angular \omega é
K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}\,I\,\omega^{2}.
Aplicando para um pneu usando I_{\text{pneu}}=1{,}85\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}} e \omega\approx 79{,}37\\ \mathrm{rad/s}:
K_{\text{rot,pneu}}=\frac{1}{2}\cdot 1{,}85\cdot \big(79{,}37\big)^{2}.
Calcule \omega^{2}:
\big(79{,}37\big)^{2}\approx 6\,299{,}0\\ (\mathrm{rad^{2}/s^{2}}).
Portanto
K_{\text{rot,pneu}}=0{,}925\cdot 6\,299{,}0 \approx 5\,826\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular a energia cinética de rotação total dos 4 pneus e a razão pedida.
Energia rotacional total:
K_{\text{rot,4}}=4\cdot K_{\text{rot,pneu}} \approx 4\cdot 5\,826\\ \mathrm{J} \approx 23\,304\\ \mathrm{J}.
Razão entre energia rotacional total dos pneus e energia de translação do carro:
\text{razão}=\frac{K_{\text{rot,4}}}{K_{\text{trans}}} \approx \frac{23\,304}{385\,800}\approx 0{,}0604.ã
Interpretando: isso significa que a energia rotacional dos quatro pneus é cerca de 6{,}04\% da energia de translação do carro.

Resposta

a) I_{\text{pneu}}=1{,}85\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}
b) K_{\text{trans}}\approx 3{,}86\times 10^{5}\\ \mathrm{J}
c) K_{\text{rot,pneu}}\approx 5{,}83\times 10^{3}\\ \mathrm{J}
d) \dfrac{K_{\text{rot,4}}}{K_{\text{trans}}}\approx 0{,}0604 (aprox. 6{,}04\%)

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