Uma pequena bola de massa
é presa na extremidade de uma barra uniforme de mesma massa
e de comprimento
. O conjunto é preso a um pivô, formando um pêndulo. Determine, para este conjunto: (a) o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo pivô; (b) a distância entre o centro de massa do conjunto e o pivô; (c) o período de oscilação.\nDado: momento de inércia de uma barra de massa
e comprimento
em relação a um eixo que passa pelo centro de massa:
.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto formado por uma barra uniforme e uma pequena bola, ambos de mesma massa
. A barra tem comprimento
. O conjunto é preso em um pivô em uma extremidade da barra, formando um pêndulo. O enunciado pede três coisas:
- (a) o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo que passa pelo pivô;
- (b) a distância entre o centro de massa do conjunto e o pivô;
- (c) o período de oscilação (pequenas oscilações).
Informações relevantes fornecidas:
- massa da barra:
; - massa da bola (ponto):
; - comprimento da barra:
(usar o valor aproximado dado); - momento de inércia da barra em relação ao seu centro:
(dado).
Além disso usarei a aceleração da gravidadepara o item (c).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de modo prático):
- Momento de inércia: medida da “resistência” de um corpo à rotação em torno de um eixo. Para sistemas compostos, o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia das partes, todos calculados em relação ao mesmo eixo.
- Teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner): se se conhece o momento de inércia de um corpo em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa
, então o momento de inércia em torno de um eixo paralelo a esse e a uma distância do CM é
onde
é a massa do corpo e
é a distância entre os eixos. Isso serve para a barra quando passamos do eixo no centro ao eixo na extremidade (o pivô).
- Para um ponto material de massa
a uma distância do eixo, o momento de inércia é
- Equação do pêndulo físico (pequenas oscilações): se um corpo rígido de massa total
tem momento de inércia em relação ao pivô e seu centro de massa está a uma distância do pivô, então para pequenas oscilações a equação linearizada leva a movimento harmônico com
e o período é
Aqui vou explicar rapidamente a origem: torque gravitacional aproximado para pequenos ângulos é
, e a equação de rotação é
, daí
, que é oscilações harmônicas.
Passo 3
Calcular o momento de inércia da barra em relação ao pivô (uma extremidade) usando o teorema dos eixos paralelos.
Momento de inércia da barra em relação ao seu centro (dado):
A distância entre o centro da barra e a extremidade (pivô) é
Pelo teorema dos eixos paralelos:
Somando as frações:
logo
Passo 4
Momento de inércia da bola (assumida como ponto material) em relação ao pivô: a bola está na extremidade da barra, a distância ao pivô é
. Assim
Momento de inércia total do conjunto (barra + bola) em relação ao pivô é a soma:
Agora substituímos os valores numéricos
e
.
Calcule .
Portanto
Calcule
Portanto
Valor numérico:
Passo 5
Calcular a posição do centro de massa do conjunto em relação ao pivô.
Para duas massas
e
em posições
e
(medidas a partir do pivô), a posição do centro de massa é
Aqui
é a massa da barra cujo centro está em
, e
é a massa da bola em
. Assim
Substituindo
:
Passo 6
Determinar o período de pequenas oscilações usando a fórmula do pêndulo físico:
onde
e
é a distância do pivô ao CM (já calculada).
Podemos simplificar simbolicamente antes de substituir números. Usando
,
e
, temos
Calcule as frações:
E sobra um
, portanto
Logo
Agora substituímos numericamente
e
:
A raiz:
Multiplicando por
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)