(2,5) Uma pequena bola de massa M=0,50 \mathrm{~kg} é presa na extremidade de uma barra uniforme de mesma massa (0,50 \mathrm{~kg}) e de comprimento L \approx 2,0 \mathrm{~m}. O conjunto é preso a um pivô, formando um pêndulo. Determine, para este conjunto: (a) o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo pivô; (b) a distância entre o centro de massa do conjunto e o pivô; (c) o período de oscilação.\nDado: momento de inércia de uma barra de massa M e comprimento L em relação a um eixo que passa pelo centro de massa: (1 / 12) M L^{2}.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto formado por uma barra uniforme e uma pequena bola, ambos de mesma massa M=0,50\\ \mathrm{kg}. A barra tem comprimento L\approx 2,0\\ \mathrm{m}. O conjunto é preso em um pivô em uma extremidade da barra, formando um pêndulo. O enunciado pede três coisas:
  • (a) o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo que passa pelo pivô;
  • (b) a distância entre o centro de massa do conjunto e o pivô;
  • (c) o período de oscilação (pequenas oscilações).
Informações relevantes fornecidas:
  • massa da barra: M_{\text{barra}}=M=0,50\\ \mathrm{kg};
  • massa da bola (ponto): M_{\text{bola}}=M=0,50\\ \mathrm{kg};
  • comprimento da barra: L=2,0\\ \mathrm{m} (usar o valor aproximado dado);
  • momento de inércia da barra em relação ao seu centro: \dfrac{1}{12}M L^{2} (dado).
    Além disso usarei a aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} para o item (c).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de modo prático):
  • Momento de inércia: medida da “resistência” de um corpo à rotação em torno de um eixo. Para sistemas compostos, o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia das partes, todos calculados em relação ao mesmo eixo.
  • Teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner): se se conhece o momento de inércia de um corpo em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa I_{\text{CM}}, então o momento de inércia em torno de um eixo paralelo a esse e a uma distância d do CM é
I = I_{\text{CM}} + M d^{2},
onde M é a massa do corpo e d é a distância entre os eixos. Isso serve para a barra quando passamos do eixo no centro ao eixo na extremidade (o pivô).
  • Para um ponto material de massa m a uma distância r do eixo, o momento de inércia é
I_{\text{ponto}} = m r^{2}.
  • Equação do pêndulo físico (pequenas oscilações): se um corpo rígido de massa total M_{\text{tot}} tem momento de inércia I em relação ao pivô e seu centro de massa está a uma distância d do pivô, então para pequenas oscilações a equação linearizada leva a movimento harmônico com
\omega^{2}=\frac{M_{\text{tot}} g d}{I},
e o período é
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M_{\text{tot}} g d}}.
Aqui vou explicar rapidamente a origem: torque gravitacional aproximado para pequenos ângulos é \tau \approx -M_{\text{tot}} g d\,\theta, e a equação de rotação é I\ddot\theta=\tau, daí \ddot\theta + (M_{\text{tot}} g d/I)\theta=0, que é oscilações harmônicas.

Passo 3

Calcular o momento de inércia da barra em relação ao pivô (uma extremidade) usando o teorema dos eixos paralelos.
Momento de inércia da barra em relação ao seu centro (dado):
I_{\text{barra,CM}}=\frac{1}{12}M L^{2}.
A distância entre o centro da barra e a extremidade (pivô) é
d_{\text{barra}}=\frac{L}{2}.
Pelo teorema dos eixos paralelos:
I_{\text{barra,pivô}}=I_{\text{barra,CM}}+M\left(\frac{L}{2}\right)^{2} =\frac{1}{12}M L^{2}+M\frac{L^{2}}{4}.ô
Somando as frações:
\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},
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I_{\text{barra,pivô}}=\frac{1}{3}M L^{2}.ô

Passo 4

Momento de inércia da bola (assumida como ponto material) em relação ao pivô: a bola está na extremidade da barra, a distância ao pivô é L. Assim
I_{\text{bola}}=M L^{2}.
Momento de inércia total do conjunto (barra + bola) em relação ao pivô é a soma:
I_{\text{total}}=I_{\text{barra,pivô}}+I_{\text{bola}} =\frac{1}{3}M L^{2}+M L^{2}=\left(\frac{1}{3}+1\right)M L^{2}=\frac{4}{3}M L^{2}.ô
Agora substituímos os valores numéricos \,M=0,50\\ \mathrm{kg} e \,L=2,0\\ \mathrm{m}.
Calcule L^{2}=(2,0)^{2}=4,0\\ \mathrm{m^{2}}.
Portanto
I_{\text{total}}=\frac{4}{3}\cdot 0,50\cdot 4,0=\frac{4}{3}\cdot 2,0=\frac{8}{3}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Valor numérico:
I_{\text{total}}\approx 2,67\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 5

Calcular a posição do centro de massa do conjunto em relação ao pivô.
Para duas massas m_{1} e m_{2} em posições x_{1} e x_{2} (medidas a partir do pivô), a posição do centro de massa é
x_{\text{CM}}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Aqui m_{1}=M é a massa da barra cujo centro está em x_{1}=L/2, e m_{2}=M é a massa da bola em x_{2}=L. Assim
x_{\text{CM}}=\frac{M\cdot\frac{L}{2}+M\cdot L}{M+M} =\frac{M\left(\frac{L}{2}+L\right)}{2M} =\frac{\frac{3L}{2}}{2}=\frac{3L}{4}.
Substituindo L=2,0\\ \mathrm{m}:
x_{\text{CM}}=\frac{3\cdot 2,0}{4}= \frac{6,0}{4}=1,5\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinar o período de pequenas oscilações usando a fórmula do pêndulo físico:
T=2\pi \sqrt{\frac{I_{\text{total}}}{M_{\text{tot}} g x_{\text{CM}}}},
onde M_{\text{tot}}=M_{\text{barra}}+M_{\text{bola}}=2M e x_{\text{CM}} é a distância do pivô ao CM (já calculada).
Podemos simplificar simbolicamente antes de substituir números. Usando I_{\text{total}}=\dfrac{4}{3}M L^{2}, M_{\text{tot}}=2M e x_{\text{CM}}=\dfrac{3L}{4}, temos
\frac{I_{\text{total}}}{M_{\text{tot}} g x_{\text{CM}}} =\frac{\dfrac{4}{3}M L^{2}}{(2M) g \left(\dfrac{3L}{4}\right)} =\frac{\dfrac{4}{3} L^{2}}{2 g \left(\dfrac{3L}{4}\right)} \quad(\text{o fator }M\text{ cancela}).
Calcule as frações:
\frac{4/3}{2\cdot(3/4)}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 3}=\frac{16}{18}=\frac{8}{9}.
E sobra um L/g, portanto
\frac{I_{\text{total}}}{M_{\text{tot}} g x_{\text{CM}}}=\frac{8}{9}\cdot\frac{L}{g}.
Logo
T=2\pi\sqrt{\frac{8}{9}\cdot\frac{L}{g}}.
Agora substituímos numericamente L=2,0\\ \mathrm{m} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\frac{8}{9}\cdot\frac{L}{g}=\frac{8}{9}\cdot\frac{2,0}{9,8}\approx 0,1812\\ \mathrm{s^{2}}.
A raiz:
\sqrt{0,1812}\approx 0,4257\\ \mathrm{s}.
Multiplicando por 2\pi:
T\approx 2\pi\cdot 0,4257\approx 2,67\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) I_{\text{total}}=\dfrac{8}{3}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}\approx 2,67\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}
(b) x_{\text{CM}}=\dfrac{3L}{4}=1,5\\ \mathrm{m}
(c) T=2\pi\sqrt{\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{L}{g}}\approx 2,67\\ \mathrm{s}

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