Um corpo com \mathrm{v}_{0}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a =3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} durante 4 s . Determine a velocidade final e o deslocamento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • v_0 = 5\\ \mathrm{m\,s^{-1}} (velocidade inicial)
    • a = 3\\ \mathrm{m\,s^{-2}} (aceleração constante)
    • t = 4\\ \mathrm{s} (duração do movimento)
  • O enunciado pede:
    1. A velocidade final após t=4\\ \mathrm{s}.
    2. O deslocamento (distância percorrida na direção do movimento) durante esses 4\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entender a relação entre aceleração, velocidade e tempo (a fórmula para a velocidade final).
  • Definição física: aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Em símbolos,
    a=\frac{dv}{dt}.
    Aqui a é a aceleração, v é a velocidade e t é o tempo.
  • Se a aceleração é constante, podemos integrar essa relação no intervalo de tempo para obter a velocidade em função do tempo. Integrando \dfrac{dv}{dt}=a com respeito a t e usando que em t=0 a velocidade é v_0, obtemos
    v(t)=v_0+at.
    Explicando as variáveis:
    • v(t) é a velocidade no instante t.
    • v_0 é a velocidade no instante inicial t=0.
    • a é a aceleração constante.
    • t é o tempo decorrido.

Passo 3

Calcular a velocidade final usando a fórmula v(t)=v_0+at.
  • Substituindo v_0=5\\ \mathrm{m\,s^{-1}}, a=3\\ \mathrm{m\,s^{-2}} e t=4\\ \mathrm{s}: v(4)=5+3\cdot 4.
  • Primeiro calcule 3\cdot 4: 3\cdot 4=12.
  • Agora some com 5: v(4)=5+12=17.
  • Logo a velocidade final é 17\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 4

Entender a relação entre velocidade, deslocamento e tempo (fórmula para o deslocamento).
  • A velocidade instantânea é v(t)=v_0+at. O deslocamento \Delta x no intervalo de tempo de 0 a t é a integral da velocidade: \Delta x=\int_{0}^{t} v(t')\,dt'=\int_{0}^{t}\bigl(v_0+a t'\bigr)\,dt'.
  • Fazendo a integral: \Delta x = \Bigl[v_0 t' + \tfrac{1}{2}a t'^{2}\Bigr]_{0}^{t}=v_0 t + \tfrac{1}{2}a t^{2}.Explicando as partes:
    • v_0 t representa o deslocamento que teria se a velocidade permanecesse constante igual a v_0.
    • \tfrac{1}{2}a t^{2} é a contribuição adicional devido à aceleração (aumento da velocidade ao longo do tempo).

Passo 5

Calcular o deslocamento usando \Delta x=v_0 t + \tfrac{1}{2}a t^{2}.
  • Substituindo v_0=5\\ \mathrm{m\,s^{-1}}, a=3\\ \mathrm{m\,s^{-2}} e t=4\\ \mathrm{s}: \Delta x = 5\cdot 4 + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4^{2}.
  • Calcule passo a passo:
    • 5\cdot 4 = 20.
    • 4^{2}=16.
    • \tfrac{1}{2}\cdot 3 = 1{,}5. (note a vírgula decimal no estilo português)
    • 1{,}5\cdot 16 = 24.
  • Somando: \Delta x = 20 + 24 = 44.
  • Logo o deslocamento é 44\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação alternativa (método do valor médio da velocidade) — para ganhar confiança.
  • Para aceleração constante, a velocidade média no intervalo é a média aritmética entre v_0 e v: v_{\text{méd}}=\frac{v_0+v}{2}.é
  • Substituindo v_0=5 e v=17: v_{\text{méd}}=\frac{5+17}{2}=\frac{22}{2}=11\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.é
  • Deslocamento então é \Delta x = v_{\text{méd}}\cdot t = 11\cdot 4 = 44\\ \mathrm{m}é, que confirma o resultado anterior.

Passo 7

Resumo e incentivo rápido.
  • Velocidade final crescente porque a aceleração é positiva; o deslocamento calculado por duas vias coincide — está tudo consistente.
  • Boa! Você já tem as fórmulas principais para movimentos com aceleração constante; com um pouco de treino isto vira automático. Vai dar certo na prova!

Resposta

Velocidade final: 17\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
Deslocamento: 44\\ \mathrm{m}

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