Um corpo move-se em linha reta com aceleração a(t)=6 t-4 \quad\left(m / s^{2}\right)
Sabendo que v(0)=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e s(0)=5 \mathrm{~m} :
a) Determine v(t).
b) Determine s(t).
c) Calcule s(3).

Passo 1

O enunciado dá a aceleração e duas condições iniciais e pede três coisas. Vou listar tudo claramente:
  • Dados: a(t)=6t-4\quad(\mathrm{m/s^{2}})
v(0)=2\\ \mathrm{m/s}
s(0)=5\\ \mathrm{m}
  • Perguntas:
    a) Determine v(t).
    b) Determine s(t).
    c) Calcule s(3).
Nada mais será assumido; agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Entendendo a relação entre as grandezas (aula rápida e prática). Em movimento retilíneo temos as derivadas:
a(t)=\frac{dv}{dt}\quad\text{e}\quad v(t)=\frac{ds}{dt}.
Isso significa que para obter v(t) a partir de a(t) precisamos integrar a(t) em relação a t. Existem duas formas equivalentes de fazer isso: integrar indefinidamente (obtendo uma primitiva + constante) ou usar a integral definida desde 0 até t e somar v(0). Vou mostrar a via das primitivas (indefinida) que é a mais direta aqui.
Regra de integração usada (lembrando de forma simples): para potência, \displaystyle \int t^n\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C. Integração é feita termo a termo em polinômios.
Integramos a(t)=6t-4:
\int (6t-4)\,dt = \int 6t\,dt - \int 4\,dt.
Compute cada parte:
\int 6t\,dt = 6\cdot\frac{t^2}{2}=3t^2,
\int 4\,dt = 4t.
Portanto a primitiva geral é
v(t)=3t^2-4t+C,
onde C é constante que vamos determinar com a condição inicial v(0)=2.

Passo 3

Usando a condição inicial para encontrar C. Avaliando v(t) em t=0:
v(0)=3\cdot 0^2-4\cdot 0 + C = C.
Mas sabemos que v(0)=2, logo C=2. Assim
v(t)=3t^2-4t+2.
Como checagem rápida: derivando v(t) obtemos
\frac{dv}{dt}=6t-4,
que coincide com a(t), então está consistente.

Passo 4

Agora obtemos s(t) integrando v(t), já que v(t)=\dfrac{ds}{dt}. Repetimos o processo de primitiva:
v(t)=3t^2-4t+2,
logo
s(t)=\int (3t^2-4t+2)\,dt.
Integramos termo a termo usando a mesma regra de potências:
\int 3t^2\,dt = 3\cdot\frac{t^3}{3}=t^3,
\int (-4t)\,dt = -4\cdot\frac{t^2}{2}=-2t^2,
\int 2\,dt = 2t.
Somando e incluindo a constante de integração D:
s(t)=t^3-2t^2+2t+D.

Passo 5

Usando a condição inicial s(0)=5 para determinar D. Avaliando em t=0:
s(0)=0-0+0+D=D.
Como s(0)=5, então D=5. Portanto
s(t)=t^3-2t^2+2t+5.

Passo 6

Cálculo final de s(3). Substituímos t=3 em s(t):
s(3)=3^3-2\cdot 3^2+2\cdot 3+5.
Calcule passo a passo:
3^3=27,
2\cdot 3^2=2\cdot 9=18,
2\cdot 3=6.
Então
s(3)=27-18+6+5.
Fazendo as somas/subtrações:
27-18=9,\quad 9+6=15,\quad 15+5=20.
Logo s(3)=20\\ \mathrm{m}.

Resposta

v(t)=3t^{2}-4t+2
s(t)=t^{3}-2t^{2}+2t+5
s(3)=20\\ \mathrm{m}

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