Calcule o valor da integral definida. \int_{0}^{7}\left(x^{4}-8 x+7\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{7}\left(x^{4}-8x+7\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{Intervalo: }[0,7],\qquad \text{função a integrar: }f(x)=x^{4}-8x+7.çã
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida acima (um número real).

Passo 2

Vamos usar propriedades básicas de integrais que são intuitivas e fáceis de aplicar em provas.
Propriedade 1 — linearidade: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int (g(x)+h(x))\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx,
\int c\cdot g(x)\,dx = c\cdot\int g(x)\,dx,
onde c é constante. Aqui g,h são funções quaisquer (no nosso caso polinômios).

Passo 3

Aplicando a linearidade para separar a integral:
\int_{0}^{7}\left(x^{4}-8x+7\right)\,dx = \int_{0}^{7}x^{4}\,dx - 8\int_{0}^{7}x\,dx + \int_{0}^{7}7\,dx.
Cada termo agora é uma integral simples de potência ou de constante.

Passo 4

Regra básica para potências (regra do expoente ou “power rule” para integrais): se n\neq -1 então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é constante de integração (não precisamos de C para integrais definidas, mas a fórmula é essa). Aqui n é o expoente. Exemplinho rápido: \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C.
Para a integral de uma constante a:
\int a\,dx = a x + C.

Passo 5

Aplicando as fórmulas termo a termo (vou indicar claramente o que cada parte gera):
  • Para \int x^{4}\,dx, use n=4:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5} + C.
  • Para \int x\,dx, note que x = x^{1}, então com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
Multiplicando pelo fator -8 fora da integral dá -8\cdot\frac{x^{2}}{2} = -4x^{2}.
  • Para \int 7\,dx, a constante 7 dá:
\int 7\,dx = 7x + C.
Assim uma primitiva (função antiderivada) de x^{4}-8x+7 é
F(x)=\frac{x^{5}}{5}-4x^{2}+7x.

Passo 6

Teorema fundamental do cálculo (parte prática para provas): a integral definida de a até b de f(x) é F(b)-F(a), onde F é qualquer antiderivada de f. Em fórmula:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a=0, b=7 e F(x)=\frac{x^{5}}{5}-4x^{2}+7x.

Passo 7

Agora avaliamos F em 7 e em 0. Primeiro calculos intermediários de potências de 7 (úteis em prova porque evita erro de conta):
7^{2}=49,\quad 7^{3}=343,\quad 7^{4}=2401,\quad 7^{5}=16807.
Avaliação em x=7:
F(7)=\frac{7^{5}}{5}-4\cdot7^{2}+7\cdot7 =\frac{16807}{5}-4\cdot49+49.
Avaliação em x=0:
F(0)=\frac{0^{5}}{5}-4\cdot0^{2}+7\cdot0=0.
Portanto
\int_{0}^{7}\left(x^{4}-8x+7\right)\,dx = F(7)-F(0) = F(7).

Passo 8

Continuando a simplificação de F(7):
F(7)=\frac{16807}{5}-4\cdot49+49.
Calcule -4\cdot49+49 = -196+49 = -147. Então
F(7)=\frac{16807}{5}-147.
Escrevendo -147 com denominador 5: -147 = -\frac{735}{5}. Assim
F(7)=\frac{16807}{5}-\frac{735}{5}=\frac{16807-735}{5}=\frac{16072}{5}.
Podemos também dar a forma decimal: \frac{16072}{5}=3214{,}4, se preferir verificar a conta rápida.

Resposta

\displaystyle \frac{16072}{5}

Exercícios relacionados