Calcule o valor da integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida acima (um número real).
Passo 2
Vamos usar propriedades básicas de integrais que são intuitivas e fáceis de aplicar em provas.
Propriedade 1 — linearidade: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
onde
é constante. Aqui
são funções quaisquer (no nosso caso polinômios).
Passo 3
Aplicando a linearidade para separar a integral:
Cada termo agora é uma integral simples de potência ou de constante.
Passo 4
Regra básica para potências (regra do expoente ou “power rule” para integrais): se
então
onde
é constante de integração (não precisamos de
para integrais definidas, mas a fórmula é essa). Aqui
é o expoente. Exemplinho rápido:
.
Para a integral de uma constante
:
Passo 5
Aplicando as fórmulas termo a termo (vou indicar claramente o que cada parte gera):
- Para
, use :
- Para
, note que , então com :
Multiplicando pelo fator
fora da integral dá
.
- Para
, a constante dá:
Assim uma primitiva (função antiderivada) de
é
Passo 6
Teorema fundamental do cálculo (parte prática para provas): a integral definida de
até
de
é
, onde
é qualquer antiderivada de
. Em fórmula:
Aqui
,
e
.
Passo 7
Agora avaliamos
em
e em
. Primeiro calculos intermediários de potências de
(úteis em prova porque evita erro de conta):
Avaliação em
:
Avaliação em
:
Portanto
Passo 8
Continuando a simplificação de
:
Calcule
Então
Escrevendo
com denominador
:
. Assim
Podemos também dar a forma decimal:
, se preferir verificar a conta rápida.