No instante adotado como origem dos tempos, o espaço de uma partícula vale -14 m e sua velocidade escalar 5 m / s. Sua aceleração escalar é constante e igual a 2 m / s^2 para qualquer instante t. Determine:
a) O instante em que a partícula passa pela origem dos espaços;
b) A velocidade escalar da partícula ao passar pela origem dos espaços.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento com aceleração constante. A questão nos dá a posição inicial da partícula, sua velocidade inicial e a aceleração. Precisamos descobrir:
a) Em que instante a partícula passa pela origem (posição = 0).
b) Qual a velocidade da partícula nesse instante.
Vamos usar as fórmulas do movimento uniformemente acelerado para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que relaciona posição, velocidade e aceleração. A posição $ s(t) $ em função do tempo é dada por:
s(t)
Onde:
  • $ s_0 $ é a posição inicial (-14 m),
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial (5 m/s),
  • $ a $ é a aceleração (2 m/s²),
  • $ t $ é o tempo que queremos encontrar.

Passo 3

Queremos encontrar o tempo $ t $ quando a posição $ s(t) = 0 $ (passa pela origem). Vamos substituir os valores na fórmula:
t
Simplificando:
s(t) = 0

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática:
t^2 + 5 t - 14 = 0
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde, na nossa equação:
  • $ a = 1 $,
  • $ b = 5 $,
  • $ c = -14 $.

Passo 5

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
Como $ \Delta > 0 $, teremos duas soluções reais.

Passo 6

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t = -5 pm raiz812 times 1 = -5 pm 92
Isso nos dá duas soluções:
t1 = -5 + 92 = 2 , s
t2 = -5 - 92 = -7 , s
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos $ t_2 $ e temos $ t = 2 , s $.

Passo 7

Agora, para encontrar a velocidade nesse instante, usamos a fórmula da velocidade em função do tempo:
v(t) = v0 + a t
Substituindo os valores:
v(2) = 5 + 2 times 2 = 5 + 4 = 9 , m/s

Resposta

a) A partícula passa pela origem aos 2 segundos.
b) A velocidade da partícula ao passar pela origem é de 9 m/s.

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