Sejam
elementos de um corpo ordenado
, onde
e
são positivos. Prove que
está compreendido entre o menor e o maior dos elementos
e
. Generalize: mostre que
está compreendido entre o menor e o maior dos elementos
, desde que
sejam todos positivos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num corpo ordenado
em que
e
, o quociente
fica entre os dois quocientes
e
.
O que precisamos usar é a comparação de frações num corpo ordenado: se , então
O que precisamos usar é a comparação de frações num corpo ordenado: se
Também vamos generalizar esse resultado para
frações cujos denominadores são positivos.
Passo 2
Suponha, sem perda de generalidade, que
Queremos mostrar primeiro que
Como
e
, podemos comparar frações por multiplicação cruzada:
Expande-se:
Mas da hipótese
segue
Logo,
Passo 3
Agora mostramos que
De novo, como
e
, usa-se multiplicação cruzada:
Expande-se:
que é justamente a mesma condição já verificada. Portanto
Passo 4
Concluímos que, se
, então
Se em vez disso
, a mesma argumentação (invertendo papéis de
e
) dá
Em qualquer caso,
fica entre
e
.
Passo 5
Generalização para
frações. Sejam
com
,
. Defina
Seja
Para cada
temos
isto é,
Somando essas desigualdades em
(e usando que
não altera o sinal):
ou seja,
Como
, concluímos
ou seja,
está compreendido entre o menor e o maior dos quocientes
.
Resposta
Para
, se
então
e análogo se a ordem for invertida.
Em geral, com
,