Sejam a, b, c, d elementos de um corpo ordenado K, onde b e d são positivos. Prove que \frac{a+c}{b+d} está compreendido entre o menor e o maior dos elementos \frac{a}{b} e \frac{c}{d}. Generalize: mostre que \frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{b_{1}+\cdots+b_{n}} está compreendido entre o menor e o maior dos elementos \frac{a_{1}}{b_{1}}, \ldots, \frac{a_{n}}{b_{n}}, desde que b_{1}, \ldots, b_{n} sejam todos positivos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num corpo ordenado K em que b>0 e d>0, o quociente
\frac{a+c}{b+d}
fica entre os dois quocientes
\frac{a}{b} e \frac{c}{d}.
O que precisamos usar é a comparação de frações num corpo ordenado: se x,y>0, então
\frac{u}{x}\le\frac{v}{y} \quad\Longleftrightarrow\quad u\,y\le v\,x.
Também vamos generalizar esse resultado para n frações cujos denominadores são positivos.

Passo 2

Suponha, sem perda de generalidade, que
\frac{a}{b}\le\frac{c}{d}.
Queremos mostrar primeiro que
\frac{a}{b}\le\frac{a+c}{b+d}.
Como b>0 e b+d>0, podemos comparar frações por multiplicação cruzada:
\frac{a}{b}\le\frac{a+c}{b+d} \quad\Longleftrightarrow\quad a\,(b+d)\le (a+c)\,b.
Expande-se:
a\,b + a\,d \le a\,b + c\,b \quad\Longleftrightarrow\quad a\,d \le c\,b.
Mas da hipótese \tfrac{a}{b}\le\tfrac{c}{d} segue
a\,d \le c\,b.
Logo,
\frac{a}{b}\le\frac{a+c}{b+d}.

Passo 3

Agora mostramos que
\frac{a+c}{b+d}\le\frac{c}{d}.
De novo, como b+d>0 e d>0, usa-se multiplicação cruzada:
\frac{a+c}{b+d}\le\frac{c}{d} \quad\Longleftrightarrow\quad (a+c)\,d \le c\,(b+d).
Expande-se:
a\,d + c\,d \le c\,b + c\,d \quad\Longleftrightarrow\quad a\,d \le c\,b,
que é justamente a mesma condição já verificada. Portanto
\frac{a+c}{b+d}\le\frac{c}{d}.

Passo 4

Concluímos que, se \tfrac{a}{b}\le\tfrac{c}{d}, então
\frac{a}{b}\;\le\;\frac{a+c}{b+d}\;\le\;\frac{c}{d}.
Se em vez disso \tfrac{c}{d}\le\tfrac{a}{b}, a mesma argumentação (invertendo papéis de (a,b) e (c,d)) dá
\frac{c}{d}\le\frac{a+c}{b+d}\le\frac{a}{b}.
Em qualquer caso, \frac{a+c}{b+d} fica entre \frac{a}{b} e \frac{c}{d}.

Passo 5

Generalização para n frações. Sejam a_i,b_i\in K com b_i>0, i=1,\dots,n. Defina
S = b_1 + b_2 + \cdots + b_n, \quad T = a_1 + a_2 + \cdots + a_n.
Seja
m = \min\Bigl\{\frac{a_i}{b_i}\Bigr\}, \quad M = \max\Bigl\{\frac{a_i}{b_i}\Bigr\}.
Para cada i temos
m \le \frac{a_i}{b_i} \le M,
isto é,
m\,b_i \le a_i \le M\,b_i.
Somando essas desigualdades em i=1,\dots,n (e usando que b_i>0 não altera o sinal):
m\,(b_1+\cdots+b_n)\;\le\;(a_1+\cdots+a_n)\;\le\;M\,(b_1+\cdots+b_n),
ou seja,
m\,S \le T \le M\,S.
Como S>0, concluímos
m \le \frac{T}{S} \le M,
ou seja,
\frac{a_1+\cdots+a_n}{b_1+\cdots+b_n}
está compreendido entre o menor e o maior dos quocientes \frac{a_i}{b_i}.

Resposta

Para n=2, se \frac{a}{b}\le\frac{c}{d} então
\frac{a}{b}\le\frac{a+c}{b+d}\le\frac{c}{d},
e análogo se a ordem for invertida.
Em geral, com b_i>0,
\min_i\frac{a_i}{b_i}\;\le\;\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{\sum_{i=1}^n b_i}\;\le\;\max_i\frac{a_i}{b_i}.

Exercícios relacionados