Se \frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}=\cdots=\frac{x_{n}}{y_{n}} num corpo K, prove que, dados a_{1}, \ldots, a_{n} \in K tais que a_{1} y_{1}+\cdots+a_{n} y_{n} \neq 0, tem-se
\frac{a_{1} x_{1}+\cdots+a_{n} x_{n}}{a_{1} y_{1}+\cdots+a_{n} y_{n}}=\frac{x_{1}}{y_{1}} .

Passo 1

O enunciado diz que em um corpo K temos
\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}=\cdots=\frac{x_{n}}{y_{n}}.
Chamemos esse valor comum de \lambda. Precisamos mostrar que, para quaisquer a_{1},\dots,a_{n}\in K com
a_{1}y_{1}+\cdots+a_{n}y_{n}\neq 0,
vale
\frac{a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}}{a_{1}y_{1}+\cdots+a_{n}y_{n}} = \frac{x_{1}}{y_{1}}.

Passo 2

Como \frac{x_{i}}{y_{i}}=\lambda para todo i, temos
x_{i}=\lambda\,y_{i} \quad\text{em \(K\) para cada \(i=1,\dots,n\).}

Passo 3

Substituindo x_{i}=\lambda y_{i} na soma do numerador, obtém-se
a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n} = a_{1}(\lambda y_{1})+\cdots+a_{n}(\lambda y_{n}) = \lambda\,(a_{1}y_{1}+\cdots+a_{n}y_{n}).

Passo 4

Agora basta dividir essa expressão pelo denominador comum a_{1}y_{1}+\cdots+a_{n}y_{n}, que por hipótese é não nulo:
\frac{a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}}{a_{1}y_{1}+\cdots+a_{n}y_{n}} = \frac{\lambda\,(a_{1}y_{1}+\cdots+a_{n}y_{n})}{a_{1}y_{1}+\cdots+a_{n}y_{n}} = \lambda.

Resposta

\frac{a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}}{a_{1}y_{1}+\cdots+a_{n}y_{n}} = \lambda = \frac{x_{1}}{y_{1}}.

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