Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação (unidades no SI):
x(t)=(8,0) \cos [(2 \pi) \cdot t+(\pi / 4)]
Em t=3,0 s, qual é o período do movimento?

Passo 1

O enunciado dá a posição em função do tempo
x(t)=(8,0)\cos\big[(2\pi)\cdot t+(\pi/4)\big]
e pergunta: em t=3,0\\ \text{s}, qual é o período do movimento?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função x(t) está escrita na forma de cosseno com coeficiente de t dentro do argumento.
  • O instante dado t=3,0\\ \text{s} aparece no enunciado, mas não é pedido calcular x(3,0); a pergunta é sobre o período do movimento.

Passo 2

Vamos identificar os parâmetros da expressão. A forma padrão do movimento harmônico simples é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (o máximo deslocamento em metros),
  • \omega é a frequência angular (em rad/s),
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
Comparando com a dada:
x(t)=(8,0)\cos\big[(2\pi)\cdot t+(\pi/4)\big],
temos:
A=8,0,\qquad \omega=2\pi,\qquad \varphi=\pi/4.

Passo 3

Agora vamos lembrar o que é o período. O período T é o tempo necessário para o movimento se repetir exatamente; matematicamente, é o menor T>0 tal que
x(t+T)=x(t)\quad\text{para todo }t.
Para a função x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), aumenta-se o argumento do cosseno em 2\pi para obter a mesma posição, ou seja, \omega T=2\pi. Daí obtemos a fórmula:
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Essa relação é básica para movimentos harmônicos simples e vale independentemente do instante t que você escolha (por isso o t=3,0\\ \text{s} do enunciado não altera o período).

Passo 4

Substituímos o valor de \omega que encontramos ( \omega=2\pi) na fórmula do período:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2\pi}.

Passo 5

Fazendo a divisão obtemos
T=1,0\\ \text{s}.
Explicando rápido: como a frequência angular é exatamente 2\pi\\ \text{rad/s}, isso significa que a oscilação dá uma volta completa no argumento do cosseno a cada 1,0\\ \text{s}.

Passo 6

Observação final para a prova (dica amiga): o período de um MHS só depende de \omega (ou da frequência f=\omega/2\pi), nunca do instante em que você observa o movimento. Então, mesmo que o enunciado mencione t=3,0\\ \text{s}, o período continua sendo 1,0\\ \text{s}.

Resposta

1,0\\ \text{s}

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