Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação (unidades no SI):
x(t)=(8,0) \cos [(2 \pi) \cdot t+(\pi / 4)]
Em t=3,0 s, qual é o ângulo de fase \varphi?

Passo 1

O enunciado dá a posição do corpo em função do tempo:
x(t)=(8,0)\cos\big[(2\pi)\cdot t+(\pi/4)\big]
e pergunta: em t=3,0\\ \text{s}, qual é o ângulo de fase \varphi?
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão do argumento do cosseno (o ângulo de fase) é (2\pi)\cdot t+(\pi/4).
  • O instante pedido é t=3,0\\ \text{s}.
  • Unidades: radianos para ângulo (pois aparece \pi) e segundos para t.

Passo 2

O que chamamos de “ângulo de fase” aqui é simplesmente o valor do argumento do cosseno no instante dado. Ou seja, definimos
\varphi(t)=(2\pi)\cdot t+(\pi/4).
Explicando cada termo de forma bem prática:
  • (2\pi) é a frequência angular \omega em rad/s; aqui \omega=2\pi.
  • t é o tempo em segundos.
  • (\pi/4) é a fase inicial (deslocamento de fase) em radianos.
    Logo, para obter \varphi em um tempo específico, basta substituir t na fórmula acima.

Passo 3

Substituímos t=3,0\\ \text{s} em \varphi(t):
\varphi(3,0)=(2\pi)\cdot 3,0 + \frac{\pi}{4}.
Calculando o primeiro termo:
(2\pi)\cdot 3,0 = 6\pi.
Portanto
\varphi(3,0)=6\pi+\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Colocamos em denominador comum para somar:
6\pi = \frac{24\pi}{4},
então
\varphi(3,0)=\frac{24\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{25\pi}{4}.
Assim uma forma exata do ângulo de fase é \varphi=\dfrac{25\pi}{4} rad.

Passo 5

Como o cosseno é periódico de período 2\pi, ângulos que diferem por múltiplos inteiros de 2\pi são equivalentes para o valor da função. Podemos reduzir \dfrac{25\pi}{4} módulo 2\pi:
2\pi=\frac{8\pi}{4},\quad \text{e } \frac{25\pi}{4}-3\cdot\frac{8\pi}{4}=\frac{25\pi}{4}-\frac{24\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.
Logo, o ângulo de fase na faixa principal [0,2\pi) é \dfrac{\pi}{4} rad, que corresponde a 45^\circ.

Resposta

\varphi(3,0)=\dfrac{25\pi}{4}\\ \text{rad}
Equivalente reduzido módulo 2\pi: \varphi(3,0)\equiv \dfrac{\pi}{4}\\ \text{rad}=45^\circ

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