Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação (unidades no SI):
Considere que este corpo de massa m está preso a uma mola de constante elástica k. Explique o Movimento Harmônico Simples.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (resumindo o que a questão dá e pede):
A posição do corpo em função do tempo é
A posição do corpo em função do tempo é
O corpo tem massa
e está preso a uma mola de constante elástica
. A pedido é: explicar o Movimento Harmônico Simples (MHS) usando essa equação — ou seja, identificar o que cada parâmetro significa, relacionar com a mola (constante
) e com as equações do movimento, e mostrar características básicas (período, frequência, velocidades, acelerações, energia, etc.).
Dados extraídos do enunciado: amplitude (metros), termo angular
(rad/s), fase inicial
(rad). A massa
e a constante
não têm valores numéricos fornecidos.
Dados extraídos do enunciado: amplitude
Passo 2
Identificação dos parâmetros da solução dada (o que cada símbolo representa):
- Amplitude:
Explicação: a amplitude é o valor máximo de ; aqui a função é um cosseno multiplicado por , então o corpo oscila entre e metros. - Frequência angular:
Explicação: o argumento do cosseno é , então é a frequência angular (quantos radianos por segundo o argumento avança). - Fase inicial:
Explicação: a fase desloca no tempo a curva; determina a posição/velocidade iniciais em . - Frequência (ciclos por segundo) e período:
Explicação: é o número de oscilações por segundo e é o tempo para completar uma oscilação.
Passo 3
Derivando para obter velocidade e aceleração (e explicar regra de derivação usada):
Regra usada: se , então pela cadeia e derivada de cosseno,
Regra usada: se
Aplicando isso:
Outra derivada (derivada do seno é cosseno, com um signo):
Observação importante (conexão útil na prova): compare
com
:
Isto mostra que a aceleração é proporcional à posição com sinal oposto — marca registrada do MHS.
Passo 4
Relação com a mola (Lei de Hooke) e equação do movimento:
Lei de Hooke (força restauradora):
Segunda lei de Newton:
Substituindo
:
Dividindo por
:
Comparando com a forma padrão
, obtemos a relação entre constantes:
Explicação: isso mostra que qualquer solução do tipo
é solução do movimento de uma massa presa a uma mola se
. Assim a constante da mola determina a frequência angular (quanto “rígida” é a mola maior
→ maior
).
Passo 5
Cálculos numéricos diretos da solução dada (passo a passo para fazer na prova sem pular etapas):
- Amplitude já identificada:
- Frequência angular:
- Período e frequência:
- Valor da posição no instante inicial
:
Mostrei como usei
.
- Velocidade inicial
:
Expliquei que usei
.
Passo 6
Valores máximos (úteis para questões objetivas e estimativas rápidas):
- Velocidade máxima (módulo):
Raciocínio:
tem módulo máximo
porque
.
- Aceleração máxima (módulo):
Raciocínio:
tem módulo máximo
.
Passo 7
Energia mecânica no MHS e expressão usando
e
:
- Energia total (constante no caso sem amortecimento) pode ser escrita como energia potencial máxima (quando velocidade é zero) ou cinética máxima (quando posição é zero):
Substituindo
e
:
onde
está em kg e o resultado em joules; ou seja, a energia total é proporcional à massa
e ao quadrado da amplitude.
Passo 8
Interpretação física e como usar isso numa prova (dicas práticas e intuição):
- O sinal negativo em
significa “restauração”: sempre que o corpo está deslocado para a aceleração aponta para , e vice-versa. Isso faz com que ele oscile em torno da posição de equilíbrio . - A amplitude
dá o alcance máximo do deslocamento; o período diz quanto tempo demora uma volta completa. Com s, em provas é fácil prever posições em instantes inteiros. - A fase
ajusta a posição/velocidade iniciais; mudanças na fase não alteram amplitude nem período. - Se você precisa relacionar com a mola: memorize
. Em problemas com e , calcule e use nas fórmulas de . - Se pedirem sinais ou quais instantes têm velocidade nula: a velocidade é zero quando
→ .
Passo 9
Resumo didático curto (como responder rápido na prova):
- Identifique
na expressão. - Calcule
e . - Use
e . - Ligue com a mola por
e energia por . - Faça cálculos numéricos diretos para
se pedirem.
Resposta
Amplitude
.
Frequência angular .
Frequência .
Período .
Fase .
Posição inicial .
Velocidade inicial .
Velocidade máxima .
Aceleração máxima .
Relação mola-massa .
Energia total .
Frequência angular
Frequência
Período
Fase
Posição inicial
Velocidade inicial
Velocidade máxima
Aceleração máxima
Relação mola-massa
Energia total