Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação (unidades no SI):
x(t)=(8,0) \cos [(2 \pi) \cdot t+(\pi / 4)]
Considere que este corpo de massa m está preso a uma mola de constante elástica k. Explique o Movimento Harmônico Simples.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumindo o que a questão dá e pede):
A posição do corpo em função do tempo é
x(t) = (8,0)\cos\big[(2\pi)\,t + (\pi/4)\big].
O corpo tem massa m e está preso a uma mola de constante elástica k. A pedido é: explicar o Movimento Harmônico Simples (MHS) usando essa equação — ou seja, identificar o que cada parâmetro significa, relacionar com a mola (constante k) e com as equações do movimento, e mostrar características básicas (período, frequência, velocidades, acelerações, energia, etc.).
Dados extraídos do enunciado: amplitude A=(8,0) (metros), termo angular (2\pi) (rad/s), fase inicial \varphi=\pi/4 (rad). A massa m e a constante k não têm valores numéricos fornecidos.

Passo 2

Identificação dos parâmetros da solução dada (o que cada símbolo representa):
  • Amplitude: A = (8,0)\\ \text{m}.Explicação: a amplitude é o valor máximo de |x(t)|; aqui a função é um cosseno multiplicado por 8,0, então o corpo oscila entre -8,0 e +8,0 metros.
  • Frequência angular: \omega = 2\pi\\ \text{rad/s}.Explicação: o argumento do cosseno é \omega t + \varphi, então \omega é a frequência angular (quantos radianos por segundo o argumento avança).
  • Fase inicial: \varphi = \frac{\pi}{4}\\ \text{rad}.Explicação: a fase desloca no tempo a curva; \varphi determina a posição/velocidade iniciais em t=0.
  • Frequência (ciclos por segundo) e período: f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\ \text{Hz}, \qquad T=\frac{1}{f}=1\\ \text{s}.Explicação: f é o número de oscilações por segundo e T é o tempo para completar uma oscilação.

Passo 3

Derivando para obter velocidade e aceleração (e explicar regra de derivação usada):
Regra usada: se x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), então pela cadeia e derivada de cosseno,
\frac{d}{dt}\cos(\omega t+\varphi) = -\omega\sin(\omega t+\varphi).
Aplicando isso:
v(t)=x'(t) = -A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Outra derivada (derivada do seno é cosseno, com um signo):
a(t)=v'(t) = -A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
Observação importante (conexão útil na prova): compare a(t) com x(t):
a(t) = -\omega^{2} x(t).
Isto mostra que a aceleração é proporcional à posição com sinal oposto — marca registrada do MHS.

Passo 4

Relação com a mola (Lei de Hooke) e equação do movimento:
Lei de Hooke (força restauradora): F = -k x.
Segunda lei de Newton: m a = F \quad\Rightarrow\quad m a = -k x.
Substituindo a = x'':
m x'' + k x = 0.
Dividindo por m:
x'' + \frac{k}{m} x = 0.
Comparando com a forma padrão x'' + \omega^{2} x = 0, obtemos a relação entre constantes:
\omega^{2} = \frac{k}{m} \quad\Rightarrow\quad k = m \omega^{2}.
Explicação: isso mostra que qualquer solução do tipo A\cos(\omega t+\varphi) é solução do movimento de uma massa presa a uma mola se \omega^{2}=k/m. Assim a constante da mola determina a frequência angular (quanto “rígida” é a mola maior k → maior \omega).

Passo 5

Cálculos numéricos diretos da solução dada (passo a passo para fazer na prova sem pular etapas):
  • Amplitude já identificada: A=8,0\\ \text{m}.
  • Frequência angular: \omega=2\pi\\ \text{rad/s}.
  • Período e frequência: T=1\\ \text{s},\qquad f=1\\ \text{Hz}.
  • Valor da posição no instante inicial t=0:
x(0)=A\cos(\varphi)=8,0\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=8,0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\approx 5,657\\ \text{m}.
Mostrei como usei \cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2.
  • Velocidade inicial v(0):
v(0)=-A\omega\sin(\varphi) = -8,0\cdot 2\pi \cdot \sin\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big) = -16\pi\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = -8\sqrt{2}\,\pi \approx -35,51\\ \text{m/s}.
Expliquei que usei \sin(\pi/4)=\sqrt{2}/2.

Passo 6

Valores máximos (úteis para questões objetivas e estimativas rápidas):
  • Velocidade máxima (módulo): v_{\max}=A\omega = 8,0\cdot 2\pi = 16\pi \approx 50,27\\ \text{m/s}.
Raciocínio: v(t)=-A\omega\sin(\cdot) tem módulo máximo A\omega porque |\sin|\le 1.
  • Aceleração máxima (módulo): a_{\max}=A\omega^{2} = 8,0\cdot(2\pi)^{2} = 32\pi^{2} \approx 315,83\\ \text{m/s}^{2}.
Raciocínio: a(t)=-A\omega^{2}\cos(\cdot) tem módulo máximo A\omega^{2}.

Passo 7

Energia mecânica no MHS e expressão usando m e k:
  • Energia total (constante no caso sem amortecimento) pode ser escrita como energia potencial máxima (quando velocidade é zero) ou cinética máxima (quando posição é zero):
E=\tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}.
Substituindo \omega=2\pi e A=8,0:
E=\tfrac{1}{2}m(2\pi)^{2}(8,0)^{2}=128\pi^{2}m \approx 1{,}263\times 10^{3}\,m\\ \text{J},
onde m está em kg e o resultado em joules; ou seja, a energia total é proporcional à massa m e ao quadrado da amplitude.

Passo 8

Interpretação física e como usar isso numa prova (dicas práticas e intuição):
  • O sinal negativo em a(t)=-\omega^{2}x(t) significa “restauração”: sempre que o corpo está deslocado para +x a aceleração aponta para -x, e vice-versa. Isso faz com que ele oscile em torno da posição de equilíbrio x=0.
  • A amplitude A dá o alcance máximo do deslocamento; o período T diz quanto tempo demora uma volta completa. Com T=1 s, em provas é fácil prever posições em instantes inteiros.
  • A fase \varphi ajusta a posição/velocidade iniciais; mudanças na fase não alteram amplitude nem período.
  • Se você precisa relacionar com a mola: memorize k=m\omega^{2}. Em problemas com m e k, calcule \omega=\sqrt{k/m} e use nas fórmulas de T,f,v_{\max},a_{\max},E.
  • Se pedirem sinais ou quais instantes têm velocidade nula: a velocidade é zero quando \sin(\omega t+\varphi)=0 \omega t+\varphi = n\pi.

Passo 9

Resumo didático curto (como responder rápido na prova):
  1. Identifique A,\omega,\varphi na expressão.
  2. Calcule f=\omega/(2\pi) e T=1/f.
  3. Use v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi) e a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
  4. Ligue com a mola por k=m\omega^{2} e energia por E=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
  5. Faça cálculos numéricos diretos para x(0),v(0),v_{\max},a_{\max} se pedirem.

Resposta

Amplitude A=8,0\\ \mathrm{m}.
Frequência angular \omega=2\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Frequência f=1\\ \mathrm{Hz}.
Período T=1\\ \mathrm{s}.
Fase \varphi=\pi/4.
Posição inicial x(0)=4\sqrt{2}\approx 5,657\\ \mathrm{m}.
Velocidade inicial v(0)=-8\sqrt{2}\,\pi\approx -35,51\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade máxima v_{\max}=16\pi\approx 50,27\\ \mathrm{m/s}.
Aceleração máxima a_{\max}=32\pi^{2}\approx 315,83\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Relação mola-massa k=m\omega^{2}=m(2\pi)^{2}=4\pi^{2}m.
Energia total E=\tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}=128\pi^{2}m\\ \text{J}.

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