Questão 2 ( 3,5 pontos) Um corpo rígido de massa
parte do repouso e rola suavemente para baixo do alto de uma rampa com atrito inclinada de
por uma distância
. Suponha que esse corpo rigido seja um anel fino de raio
e que durante o rolamento suave não sofre resistência do ar. Considere
. Faça uma ilustração do rolamento com o sistema de referências adotado.
(a)
Identifique
força(s) presente(s) neste sistema e escreva qual(is) produze(m) o torque no rolamento suave, justificando sua resposta.
(b)
Determine a velocidade do corpo rigido na base da rampa.
(c)
Determine a força de atrito (módulo e orientação) que age sobre o corpo enquanto rola suavemente a rampa.
(d)
Determine o torque resultante (módulo e orientação) do movimento de rotação do corpo rígido.
(e)
O que aconteceria com a velocidade do corpo rigido na base da rampa se ao invés de anel fino fosse um outro corpo de mesma massa e raio, como por exemplo uma casca esférica?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e também faço a ilustração do rolamento com o sistema de referência adotado.
Dados fornecidos:
Altura da rampa relativa ao ponto inicial:
.
O enunciado pergunta:
(a) Identificar as forças presentes e dizer qual(is) produz(em) torque no rolamento suave; justificar.
(b) Determinar a velocidade na base da rampa.
(c) Determinar a força de atrito (módulo e orientação) enquanto rola suavemente.
(d) Determinar o torque resultante (módulo e orientação) do movimento de rotação.
(e) O que mudaria na velocidade final se o corpo fosse uma casca esférica (mesma massa e raio)?
(a) Identificar as forças presentes e dizer qual(is) produz(em) torque no rolamento suave; justificar.
(b) Determinar a velocidade na base da rampa.
(c) Determinar a força de atrito (módulo e orientação) enquanto rola suavemente.
(d) Determinar o torque resultante (módulo e orientação) do movimento de rotação.
(e) O que mudaria na velocidade final se o corpo fosse uma casca esférica (mesma massa e raio)?
Ilustração (vista lateral) e sistema de referência que vou usar (desenho esquemático e rótulos):
Inclinação
descendente para a direita. Corpo (anel fino) com centro
e raio
.
Forças no corpo (marcadas no desenho):
Forças no corpo (marcadas no desenho):
-
apontando vertical para baixo (pelo centro ). -
normal, perpendicular à superfície, passando por . -
atrito estático, tangente à superfície (direção ao longo da rampa, orientação a ser determinada).
Velocidade do centro de massa:para baixo ao longo da rampa; rotação com tal que não haja deslizamento: .
Observação: todos os dados numéricos e o pedido estão devidamente anotados; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Quais forças atuam e quais produzem torque — justificativa detalhada (resposta do item (a)).
Forças presentes (listadas e explicadas):
Qual(is) produz(em) torque em relação ao centro
?
- Torques calculam-se com o produto vetorial
. Se a linha de ação da força passa pelo centro então é nulo e o torque relativo a é nulo. - O peso
atua no centro , logo não produz torque em torno de . - A normal
age ao longo da linha que passa pelo ponto de contato; porém para um corpo simétrico como um anel e para rolagem perfeita, a normal tem linha de ação que passa pela posição que, para efeito de torque sobre , produz torque nulo (ou seja, a normal não cria torque que gere rotação do corpo em torno de ). Em resumo, não produz torque útil para iniciar/alterar a rotação em torno de . - O atrito
age no ponto de contato e sua linha de ação não passa pelo centro ; portanto gera um torque não nulo em torno de .
Conclusão direta (resposta do item (a)): as forças são
,
e
. Apenas
produz torque em torno do centro de massa e, portanto, é responsável por produzir/alterar a rotação durante o rolamento suave.
Passo 3
Modelagem das equações de movimento (ensino passo a passo das hipóteses e fórmulas).
Explicação das relações que vamos usar:
- Rolamento sem deslizamento: a velocidade do centro de massa
e a velocidade angular satisfazem
Isto significa que o ponto de contato instantaneamente tem velocidade zero relativa à superfície.
- Equação de Newton para a translação ao longo da rampa (eixo
para baixo ao longo da rampa):
onde
é a aceleração do centro de massa ao longo da rampa e
é a componente do atrito (tomando
positivo no sentido que aparece na soma de forças).
- Equação do momento (torque) em torno do centro
:
Aqui
é a aceleração angular,
o momento de inércia em torno do centro, e a única força que contribui é o atrito:
(o sinal depende do sentido adotado). Relação rolamento sem deslize dá
.
- Momento de inércia para um anel fino de raio
e massa :
Vou usar essas três equações simultaneamente para encontrar
,
e depois
.
Passo 4
Resolver as equações para
e
(desdobramento algébrico).
Da equação de torque:
Dividindo por
obtemos
Substituindo
na equação de translação
:
Cancelando
:
Comentário didático: essa expressão mostra que para um anel fino (que tem
) parte do peso promove a translação e parte provê rotação via atrito; a aceleração translacional é metade de
porque a energia/força é dividida entre translação e rotação de igual contribuição nesse caso.
Passo 5
Cálculo numérico da aceleração e do atrito (parte do item (c) e útil para a velocidade).
Calcule
com
:
Logo
Agora o atrito, usando
:
Determinar orientação: na equação de movimento tomamos o sinal de
subtraindo
(isto é,
com
para baixo da rampa). Encontramos
, portanto
tem sentido oposto ao movimento do centro de massa (opõe-se ao deslizamento), ou seja, aponta para cima ao longo da rampa. Em palavras: o atrito estático aponta para cima da rampa e fornece o torque que faz o anel girar mais rápido enquanto desce.
Passo 6
Determinar a velocidade na base da rampa (item (b)) usando energia — explicação didática do método.
Motivação do método: Energia é muito prático quando não há perda por atrito deslizante ou atrito de rolamento dissipativo. Aqui o atrito é estático (não dissipa energia) e não há resistência do ar; portanto a energia potencial gravitacional
converte-se em energia cinética translacional e rotacional.
Escrevendo a conservação de energia:
Usando
e
:
Portanto simplifica para
Logo
Agora
. Calcule numericamente:
Comentário didático: para o anel fino a energia rotacional é igual à energia translacional (cada uma é
), por isso o fator final foi exatamente
no total.
Passo 7
Calcular o torque resultante e orientar o sentido (item (d)).
O torque resultante em relação ao centro
é produzido apenas pelo atrito estático e vale:
Numérico:
Orientação/sentido: esse torque tem sentido que aumenta a rotação do anel no mesmo sentido que faz o ponto de contato ficar momentaneamente em repouso relativo ao plano (ou seja, o torque produz aceleração angular
tal que o anel gira mais rapidamente enquanto desce). Se você olhar a rampa de lado com a descida para a direita, o anel gira no sentido horário; o torque associado aponta segundo a regra da mão direita ao longo do eixo (para dentro da página se a rotação vista é horário).
Observação: Peso e normal não geram torque em relação a
, então o torque resultante é somente o do atrito.
Passo 8
Comparação com uma casca esférica (item (e)) — ensinar por que muda e calcular.
Momento de inércia de uma casca esférica fina (massa
, raio
):
Repetindo a conta de energia (novamente
vai para translação + rotação):
Logo
Comparando com o anel (onde
), a casca esférica tem um coeficiente
maior dentro da raiz. Portanto a casca esférica alcançará maior velocidade ao final da rampa.
Cálculo numérico rápido:
Explicação final intuitiva: corpos com menor momento de inércia (em relação a
) armazenam menos energia rotacional para uma mesma
, sobrando mais energia para a translação, então atingem maior velocidade ao descer a rampa.
Resposta
(a) Forças:
,
e
(atrito estático). Somente
produz torque em torno do centro
.
(b) .
(c) , apontando para cima ao longo da rampa (atrito estático, oposto ao deslizamento).
(d) , sentido que provoca rotação no mesmo sentido do rolamento (visto lateral: horário, torque apontando para dentro da página pelo critério da mão direita).
(e) A velocidade seria maior: para uma casca esférica (porque seu momento de inércia é menor e, portanto, menos energia vai para rotação).
(b)
(c)
(d)
(e) A velocidade seria maior: para uma casca esférica