Questão 2 ( 3,5 pontos) Um corpo rígido de massa M=3,0 \mathrm{~kg} parte do repouso e rola suavemente para baixo do alto de uma rampa com atrito inclinada de 28^{\circ} por uma distância d= 2,8 \mathrm{~m}. Suponha que esse corpo rigido seja um anel fino de raio \mathrm{R}=30 \mathrm{~cm} e que durante o rolamento suave não sofre resistência do ar. Considere \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Faça uma ilustração do rolamento com o sistema de referências adotado.
(a) (0,5) Identifique a(s) força(s) presente(s) neste sistema e escreva qual(is) produze(m) o torque no rolamento suave, justificando sua resposta.
(b) (1,0) Determine a velocidade do corpo rigido na base da rampa.
(c) (1,0) Determine a força de atrito (módulo e orientação) que age sobre o corpo enquanto rola suavemente a rampa.
(d) (0,5) Determine o torque resultante (módulo e orientação) do movimento de rotação do corpo rígido.
(e) (0,5) O que aconteceria com a velocidade do corpo rigido na base da rampa se ao invés de anel fino fosse um outro corpo de mesma massa e raio, como por exemplo uma casca esférica?

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e também faço a ilustração do rolamento com o sistema de referência adotado.
Dados fornecidos:
M=3{,}0\\ \mathrm{kg},\quad \theta=28^\circ,\quad d=2{,}8\\ \mathrm{m},\quad R=0{,}30\\ \mathrm{m},\quad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Altura da rampa relativa ao ponto inicial: h=d\sin\theta.
O enunciado pergunta:
(a) Identificar as forças presentes e dizer qual(is) produz(em) torque no rolamento suave; justificar.
(b) Determinar a velocidade na base da rampa.
(c) Determinar a força de atrito (módulo e orientação) enquanto rola suavemente.
(d) Determinar o torque resultante (módulo e orientação) do movimento de rotação.
(e) O que mudaria na velocidade final se o corpo fosse uma casca esférica (mesma massa e raio)?
Ilustração (vista lateral) e sistema de referência que vou usar (desenho esquemático e rótulos):
Inclinação \theta descendente para a direita. Corpo (anel fino) com centro C e raio R.
Forças no corpo (marcadas no desenho):
  • \vec{W}=M\vec{g} apontando vertical para baixo (pelo centro C).
  • \vec{N} normal, perpendicular à superfície, passando por C.
  • \vec{f} atrito estático, tangente à superfície (direção ao longo da rampa, orientação a ser determinada).
    Velocidade do centro de massa: \vec{v} para baixo ao longo da rampa; rotação com \omega tal que não haja deslizamento: v=\omega R.
Observação: todos os dados numéricos e o pedido estão devidamente anotados; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Quais forças atuam e quais produzem torque — justificativa detalhada (resposta do item (a)).
Forças presentes (listadas e explicadas):
\text{Peso: }\vec{W}=M\vec{g}\quad\text{(aplica-se no centro de massa }C\text{)},
\text{Normal: }\vec{N}\quad\text{(aplica-se no ponto de contato, direção perpendicular à rampa)},çãà
\text{Atrito estático: }\vec{f}\quad\text{(aplica-se no ponto de contato, ao longo da rampa)}.á
Qual(is) produz(em) torque em relação ao centro C?
  • Torques calculam-se com o produto vetorial \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}. Se a linha de ação da força passa pelo centro C então \vec{r} é nulo e o torque relativo a C é nulo.
  • O peso \vec{W} atua no centro C, logo não produz torque em torno de C.
  • A normal \vec{N} age ao longo da linha que passa pelo ponto de contato; porém para um corpo simétrico como um anel e para rolagem perfeita, a normal tem linha de ação que passa pela posição que, para efeito de torque sobre C, produz torque nulo (ou seja, a normal não cria torque que gere rotação do corpo em torno de C). Em resumo, \vec{N} não produz torque útil para iniciar/alterar a rotação em torno de C.
  • O atrito \vec{f} age no ponto de contato e sua linha de ação não passa pelo centro C; portanto \vec{f} gera um torque não nulo em torno de C.
Conclusão direta (resposta do item (a)): as forças são \vec{W}, \vec{N} e \vec{f}. Apenas \vec{f} produz torque em torno do centro de massa e, portanto, é responsável por produzir/alterar a rotação durante o rolamento suave.

Passo 3

Modelagem das equações de movimento (ensino passo a passo das hipóteses e fórmulas).
Explicação das relações que vamos usar:
  • Rolamento sem deslizamento: a velocidade do centro de massa v e a velocidade angular \omega satisfazem
v=\omega R.
Isto significa que o ponto de contato instantaneamente tem velocidade zero relativa à superfície.
  • Equação de Newton para a translação ao longo da rampa (eixo \hat{s} para baixo ao longo da rampa):
\sum F_{s}=M a \quad\Rightarrow\quad M g\sin\theta - f = M a,
onde a é a aceleração do centro de massa ao longo da rampa e f é a componente do atrito (tomando f positivo no sentido que aparece na soma de forças).
  • Equação do momento (torque) em torno do centro C:
\sum \tau_C = I_C \alpha.
Aqui \alpha é a aceleração angular, I_C o momento de inércia em torno do centro, e a única força que contribui é o atrito: \tau_C = f R (o sinal depende do sentido adotado). Relação rolamento sem deslize dá \alpha = a/R.
  • Momento de inércia para um anel fino de raio R e massa M:
I_C = M R^2.
Vou usar essas três equações simultaneamente para encontrar a, f e depois v.

Passo 4

Resolver as equações para a e f (desdobramento algébrico).
Da equação de torque:
fR = I_C \alpha = (M R^2)\left(\frac{a}{R}\right) = M R a.
Dividindo por R obtemos
f = M a.
Substituindo f na equação de translação M g\sin\theta - f = M a:
M g\sin\theta - M a = M a \quad\Rightarrow\quad M g\sin\theta = 2M a.
Cancelando M:
a = \frac{g\sin\theta}{2}.
Comentário didático: essa expressão mostra que para um anel fino (que tem I=MR^2) parte do peso promove a translação e parte provê rotação via atrito; a aceleração translacional é metade de g\sin\theta porque a energia/força é dividida entre translação e rotação de igual contribuição nesse caso.

Passo 5

Cálculo numérico da aceleração e do atrito (parte do item (c) e útil para a velocidade).
Calcule \sin\theta com \theta=28^\circ:
\sin 28^\circ \approx 0{,}46947.
Logo
a=\frac{g\sin\theta}{2}=\frac{9{,}81\times 0{,}46947}{2}\approx 2{,}30\\ \mathrm{m/s^2}.
Agora o atrito, usando f=M a:
f = M a = 3{,}0\times 2{,}30 \approx 6{,}90\\ \mathrm{N}.
Determinar orientação: na equação de movimento tomamos o sinal de f subtraindo f (isto é, M g\sin\theta - f = M a com a>0 para baixo da rampa). Encontramos f>0, portanto \vec{f} tem sentido oposto ao movimento do centro de massa (opõe-se ao deslizamento), ou seja, aponta para cima ao longo da rampa. Em palavras: o atrito estático aponta para cima da rampa e fornece o torque que faz o anel girar mais rápido enquanto desce.

Passo 6

Determinar a velocidade na base da rampa (item (b)) usando energia — explicação didática do método.
Motivação do método: Energia é muito prático quando não há perda por atrito deslizante ou atrito de rolamento dissipativo. Aqui o atrito é estático (não dissipa energia) e não há resistência do ar; portanto a energia potencial gravitacional M g h converte-se em energia cinética translacional e rotacional.
Escrevendo a conservação de energia:
M g h = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I_C \omega^2.
Usando I_C = M R^2 e \omega = v/R:
M g h = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2}(M R^2)\left(\frac{v^2}{R^2}\right)=\frac{1}{2}M v^2 + \frac{1}{2}M v^2 = M v^2.
Portanto simplifica para
v^2 = g h.
Logo
v=\sqrt{g h}.
Agora h=d\sin\theta. Calcule numericamente:
h = 2{,}8\times 0{,}46947 \approx 1{,}3145\\ \mathrm{m}.
v=\sqrt{9{,}81\times 1{,}3145}\approx 3{,}59\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: para o anel fino a energia rotacional é igual à energia translacional (cada uma é 1/2 M v^2), por isso o fator final foi exatamente M v^2 no total.

Passo 7

Calcular o torque resultante e orientar o sentido (item (d)).
O torque resultante em relação ao centro C é produzido apenas pelo atrito estático e vale:
\tau = f R.
Numérico:
\tau \approx 6{,}90\times 0{,}30 \approx 2{,}07\\ \mathrm{N\cdot m}.
Orientação/sentido: esse torque tem sentido que aumenta a rotação do anel no mesmo sentido que faz o ponto de contato ficar momentaneamente em repouso relativo ao plano (ou seja, o torque produz aceleração angular \alpha tal que o anel gira mais rapidamente enquanto desce). Se você olhar a rampa de lado com a descida para a direita, o anel gira no sentido horário; o torque associado aponta segundo a regra da mão direita ao longo do eixo (para dentro da página se a rotação vista é horário).
Observação: Peso e normal não geram torque em relação a C, então o torque resultante é somente o do atrito.

Passo 8

Comparação com uma casca esférica (item (e)) — ensinar por que muda e calcular.
Momento de inércia de uma casca esférica fina (massa M, raio R):
I_C = \tfrac{2}{3}M R^2.
Repetindo a conta de energia (novamente M g h vai para translação + rotação):
M g h = \tfrac{1}{2}M v^2 + \tfrac{1}{2}I_C\omega^2 = \tfrac{1}{2}M v^2 + \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{2}{3}M R^2\right)\left(\frac{v^2}{R^2}\right) = \tfrac{1}{2}M v^2 + \tfrac{1}{3}M v^2 = \tfrac{5}{6}M v^2.
Logo
v^2 = \frac{6}{5} g h,\quad v = \sqrt{\frac{6}{5} g h}.
Comparando com o anel (onde v^2=g h), a casca esférica tem um coeficiente \tfrac{6}{5}=1{,}2 maior dentro da raiz. Portanto a casca esférica alcançará maior velocidade ao final da rampa.
Cálculo numérico rápido:
v_{\text{esfera}}=\sqrt{1{,}2\times 9{,}81\times 1{,}3145}\approx 3{,}94\\ \mathrm{m/s}.
Explicação final intuitiva: corpos com menor momento de inércia (em relação a MR^2) armazenam menos energia rotacional para uma mesma v, sobrando mais energia para a translação, então atingem maior velocidade ao descer a rampa.

Resposta

(a) Forças: \vec{W}=M\vec{g}, \vec{N} e \vec{f} (atrito estático). Somente \vec{f} produz torque em torno do centro C.
(b) v\approx 3{,}59\\ \mathrm{m/s}.
(c) f\approx 6{,}90\\ \mathrm{N}, apontando para cima ao longo da rampa (atrito estático, oposto ao deslizamento).
(d) \tau = fR\approx 2{,}07\\ \mathrm{N\cdot m}, sentido que provoca rotação no mesmo sentido do rolamento (visto lateral: horário, torque apontando para dentro da página pelo critério da mão direita).
(e) A velocidade seria maior: para uma casca esférica v\approx 3{,}94\\ \mathrm{m/s} (porque seu momento de inércia é menor e, portanto, menos energia vai para rotação).

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