Um corpo pequeno de 2,5 kg de massa é ligado à ponta de uma vara rígida de massa desprezível e de 0,8 m de comprimento. A outra ponta da vara é colocada sobre um braço horizontal de 0,6 m de comprimento, que pode girar em torno de um eixo vertical. O braço gira em torno do eixo vertical a uma velocidade de rotação constante, de tal modo que a vara que sustenta a massa faz um ângulo de 30^circ com a vertical. Ache a tensão na vara a que a massa está ligada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo nesse exercício. Temos um corpo de massa 2,5, kg preso na ponta de uma vara rígida de 0,8, m, que está apoiada em um braço horizontal de 0,6, m. Esse braço pode girar em torno de um eixo vertical com velocidade constante, fazendo com que a vara forme um ângulo de 30^circ com a vertical. Nosso objetivo aqui é descobrir a tensão na vara que está segurando a massa. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de forças em equilíbrio e movimento circular, além de trigonometria básica para decompor as forças nas direções vertical e horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama das forças envolvidas. A massa está presa na ponta da vara, e as forças que atuam nela são:
  1. Peso ( P): Essa é a força da gravidade puxando a massa para baixo, calculada por P = m cdot g, onde g é a aceleração da gravidade ( 9,8, m/s^2).
  2. Tensão ( T): Essa é a força na vara que está segurando a massa. Como a vara está inclinada, a tensão tem duas componentes:
    • Componente Vertical ( Ty): Contrapõe o peso da massa.
    • Componente Horizontal ( Tx): Provoca a força centrípeta necessária para manter a massa em movimento circular.

Passo 3

Vamos decompor a tensão T nas suas componentes vertical e horizontal usando trigonometria. O ângulo da vara com a vertical é de 30^circ, então:
  • Componente Vertical:
    Ty = T cdot cos(30^circ)
  • Componente Horizontal:
    Tx = T cdot sin(30^circ)

Passo 4

Agora, analisamos o equilíbrio das forças na direção vertical. A componente vertical da tensão deve equilibrar o peso da massa:
Ty = P T cdot cos(30^circ) = m cdot g
A partir disso, podemos expressar T em termos de m, g e o ângulo:
T = m cdot gcos(30^circ)

Passo 5

Em seguida, analisamos a força centrípeta necessária para manter a massa em movimento circular. A força centrípeta ( Fc) é fornecida pela componente horizontal da tensão:
Fc = Tx = T cdot sin(30^circ)
Sabemos que a força centrípeta também pode ser expressa como:
Fc = m cdot omega^2 cdot r
Onde:
  • omega é a velocidade angular.
  • r é o raio da trajetória circular.

Passo 6

Precisamos encontrar o raio r da trajetória circular da massa. O braço horizontal tem comprimento 0,6, m e a vara tem comprimento 0,8, m formando um ângulo de 30^circ com a vertical. O raio é a soma da parte horizontal da vara com o braço:
r = 0,6, m + 0,8, m cdot sin(30^circ) r = 0,6, m + 0,8, m cdot 0,5 r = 0,6, m + 0,4, m r = 1,0, m

Passo 7

Agora, substituímos Fc na equação da força centrípeta:
T cdot sin(30^circ) = m cdot omega^2 cdot r
Mas, anteriormente encontramos que:
T = m cdot gcos(30^circ)
Substituindo T nessa equação:
m cdot gcos(30^circ) cdot sin(30^circ) = m cdot omega^2 cdot r
Simplificando:
g cdot tan(30^circ) = omega^2 cdot r omega^2 = g cdot tan(30^circ)r omega = raizg cdot tan(30^circ)r

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores numéricos para calcular omega:
omega = raiz9,8, m/s^2 cdot tan(30^circ)1,0, m omega = raiz9,8 cdot 0,57741 omega = raiz5,67 omega approx 2,38, rad/s

Passo 9

Com omega encontrado, retornamos à equação da tensão:
T = m cdot gcos(30^circ) T = 2,5, kg cdot 9,8, m/s^20,8660 T = 24,50,8660 T approx 28,3, N

Resposta

A tensão na vara a que a massa está ligada é aproximadamente 28,3, N.

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