Um corpo pequeno de
de massa é ligado à ponta de uma vara rígida de massa desprezível e de
de comprimento. A outra ponta da vara é colocada sobre um braço horizontal de
de comprimento, que pode girar em torno de um eixo vertical. O braço gira em torno do eixo vertical a uma velocidade de rotação constante, de tal modo que a vara que sustenta a massa faz um ângulo de
com a vertical. Ache a tensão na vara a que a massa está ligada.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo nesse exercício. Temos um corpo de massa
preso na ponta de uma vara rígida de
, que está apoiada em um braço horizontal de
. Esse braço pode girar em torno de um eixo vertical com velocidade constante, fazendo com que a vara forme um ângulo de
com a vertical. Nosso objetivo aqui é descobrir a tensão na vara que está segurando a massa. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de forças em equilíbrio e movimento circular, além de trigonometria básica para decompor as forças nas direções vertical e horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama das forças envolvidas. A massa está presa na ponta da vara, e as forças que atuam nela são:
-
Peso (
): Essa é a força da gravidade puxando a massa para baixo, calculada por , onde é a aceleração da gravidade ( ). -
Tensão (
): Essa é a força na vara que está segurando a massa. Como a vara está inclinada, a tensão tem duas componentes: - Componente Vertical (
): Contrapõe o peso da massa. - Componente Horizontal (
): Provoca a força centrípeta necessária para manter a massa em movimento circular.
- Componente Vertical (
Passo 3
Vamos decompor a tensão
nas suas componentes vertical e horizontal usando trigonometria. O ângulo da vara com a vertical é de
, então:
-
Componente Vertical:
-
Componente Horizontal:
Passo 4
Agora, analisamos o equilíbrio das forças na direção vertical. A componente vertical da tensão deve equilibrar o peso da massa:
A partir disso, podemos expressar
em termos de
,
e o ângulo:
Passo 5
Em seguida, analisamos a força centrípeta necessária para manter a massa em movimento circular. A força centrípeta (
) é fornecida pela componente horizontal da tensão:
Sabemos que a força centrípeta também pode ser expressa como:
Onde:
-
é a velocidade angular. -
é o raio da trajetória circular.
Passo 6
Precisamos encontrar o raio
da trajetória circular da massa. O braço horizontal tem comprimento
e a vara tem comprimento
formando um ângulo de
com a vertical. O raio é a soma da parte horizontal da vara com o braço:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação da força centrípeta:
Mas, anteriormente encontramos que:
Substituindo
nessa equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores numéricos para calcular
:
Passo 9
Com
encontrado, retornamos à equação da tensão:
Resposta
A tensão na vara a que a massa está ligada é aproximadamente
.