Determine a transformada inversa,
, para cada uma das seguintes transformadas Z e suas regiões de convergência associadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada Z. O que a gente precisa fazer é encontrar a transformada inversa de $ X(z) = \frac{z^{-1} - \frac{1}{2}}{\left(1 - \frac{1}{2} z{-1}\right){2}} $ com a região de convergência $ |z| < \frac{1}{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e propriedades da Transformada Z.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ X(z) $. Podemos reescrever $ z^{-1} $ como $ \frac{1}{z} $, então:
Passo 3
Agora, vamos reescrever $ X(z) $ de forma que fique mais fácil aplicar a Transformada Z inversa:
Podemos dividir essa fração em duas partes:
Passo 4
Vamos identificar termos que conhecemos da Transformada Z inversa. Sabemos que:
Aqui, $ a = \frac{1}{2} $. Então, aplicando isso a cada termo:
- Para $ \frac{z}{(z - \frac{1}{2})^{2}} $:
- Para $ \frac{z^{2}}{2(z - \frac{1}{2})^{2}} $:
Primeiro, note que $ z^{2} $ desloca a sequência no tempo. Então:
Passo 5
Agora, combinamos os dois resultados:
Podemos simplificar ainda mais, fatorando $ (n + 1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n} $:
Resposta
A transformada inversa é:
com a região de convergência $ |z| < \frac{1}{2} $.