Determine a transformada inversa, x[n], para cada uma das seguintes transformadas Z e suas regiões de convergência associadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada Z. O que a gente precisa fazer é encontrar a transformada inversa de $ X(z) = \frac{z^{-1} - \frac{1}{2}}{\left(1 - \frac{1}{2} z{-1}\right){2}} $ com a região de convergência $ |z| < \frac{1}{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e propriedades da Transformada Z.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ X(z) $. Podemos reescrever $ z^{-1} $ como $ \frac{1}{z} $, então:
X(z)

Passo 3

Agora, vamos reescrever $ X(z) $ de forma que fique mais fácil aplicar a Transformada Z inversa:
X(z)
Podemos dividir essa fração em duas partes:
X(z) = z (1 - z2)(z - 12)^2 = z - z^22(z - 12)^2

Passo 4

Vamos identificar termos que conhecemos da Transformada Z inversa. Sabemos que:
z(z - a)^2 rightarrow (n+1) a^n u[n]
Aqui, $ a = \frac{1}{2} $. Então, aplicando isso a cada termo:
  1. Para $ \frac{z}{(z - \frac{1}{2})^{2}} $:
a = 12
  1. Para $ \frac{z^{2}}{2(z - \frac{1}{2})^{2}} $:
Primeiro, note que $ z^{2} $ desloca a sequência no tempo. Então:
z(z - 12)^2

Passo 5

Agora, combinamos os dois resultados:
x[n] = x1[n] - x2[n] = (n + 1) (12)^n u[n] - 12 (n + 1) (12)^n - 2 u[n - 2]
Podemos simplificar ainda mais, fatorando $ (n + 1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n} $:
(n + 1) (12)^n

Resposta

A transformada inversa é:
x[n] = (n + 1) (12)^n [1 - u[n - 2]]
com a região de convergência $ |z| < \frac{1}{2} $.

Exercícios relacionados