Um corpo pequeno de 2,5 kg de massa é ligado à ponta de uma vara rígida de massa desprezível e de 0,8 m de comprimento. A outra ponta da vara é colocada sobre um braço horizontal de 0,6 m de comprimento, que pode girar em torno de um eixo vertical. O braço gira em torno do eixo vertical a uma velocidade de rotação constante, de tal modo que a vara que sustenta a massa faz um ângulo de 30^circ com a vertical. Ache o tempo necessário para a massa fazer uma revolução completa.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: um massinha de 2,5 kg tá presa na ponta de uma vareta rígida (sem massa) de 0,8 m. A outra ponta da vareta fica num braço horizontal de 0,6 m que gira em torno de um eixo vertical. A vareta inclina 30° da vertical quando tudo gira. A gente quer saber quanto tempo leva pra massa dar uma volta completa.
Matéria: dinâmica de movimento circular – equilibrar forças (peso e tensão) pra achar a velocidade angular, e daí o período da volta.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos achar o raio da trajetória (distância horizontal da massa ao eixo de rotação).
  • O braço fixa a 0,6 m do eixo.
  • A vareta de 0,8 m faz ângulo θ=30° com a vertical, então projeta na horizontal: Lrm horiz = 0,8;mtimessin30^circ = 0,8times 0,5 = 0,4;m
Logo o raio total é
r = 0,6 + 0,4 = 1,0;m

Passo 3

Agora o esquema de forças na massa (conical pendulum):
  1. Verticalmente a massa não acelera, então Tcostheta = mg
  2. Horizontalmente a força centrípeta é fornecida pela componente horizontal da tensão: Tsintheta = m,omega^2,r, onde ω é a velocidade angular.

Passo 4

Dividindo a segunda equação pela primeira, a gente elimina T:
TsinthetaTcostheta = m,omega^2,rmg Longrightarrow tantheta = omega^2,rg
Isolando ω:
omega = raizg,tanthetar
Substituindo g=9,8 m/s², θ=30° (tan30°=1/√3≈0,577) e r=1,0 m:
omega = raiz9,8 times 0,5771,0 = raiz5,65 approx 2,38;rad/s

Passo 5

O período (tempo de uma volta) é
Trm vo
Logo
Trm vo

Resposta

O tempo necessário para a massa fazer uma revolução completa é aproximadamente 2,64 s.

Exercícios relacionados