Determine a transformada inversa,
, para cada uma das seguintes transformadas Z e suas regiões de convergência associadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa de
, além de determinar a região de convergência (ROC). Aqui, estamos lidando com Transformada Z, que é uma ferramenta poderosa para analisar sinais no domínio discreto. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de frações parciais e entender como a ROC afeta nossa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Vamos observar o numerador e o denominador:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4 no denominador:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o denominador para facilitar a aplicação de frações parciais. Resolvendo a equação quadrática
:
Usando a fórmula quadrática:
Isso significa que o denominador pode ser escrito como
. Então, nossa expressão fica:
Passo 4
Para encontrar a transformada inversa, vamos expressar
em uma forma que possamos aplicar as transformadas conhecidas. Vamos decompôr em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Expanda o lado direito:
Comparando os coeficientes:
- Para
: 2 no lado esquerdo e 0 no direito, então isso indica que há um erro na decomposição. Precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Na verdade, a expressão original pode ser reescrita melhor assim:
Observe que:
Então,
Passo 5
Agora, vamos separar as partes:
Podemos reescrever a segunda parte para facilitar a transformação inversa:
Então,
Passo 6
Agora, podemos aplicar a transformada inversa parte por parte. Sabemos que:
Aplicando isso:
- Para o termo constante 2:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Juntando todas as partes, temos:
Podemos simplificar um pouco mais combinando os termos:
Resposta
A transformada inversa é dada por
com a região de convergência
.