Determine a transformada inversa, x[n], para cada uma das seguintes transformadas Z e suas regiões de convergência associadas:
X(z)=8 z^2+4 z4 z^2-4 z+1 ,|z|>12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa de X(z) = 8 z^2+4 z4 z^2-4 z+1, além de determinar a região de convergência (ROC). Aqui, estamos lidando com Transformada Z, que é uma ferramenta poderosa para analisar sinais no domínio discreto. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de frações parciais e entender como a ROC afeta nossa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de X(z). Vamos observar o numerador e o denominador:
X(z) = 8 z^2 + 4 z4 z^2 - 4 z + 1
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4 no denominador:
X(z) = 8 z^2 + 4 z4 (z^2 - z + 14) = 2 z^2 + zz^2 - z + 14

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador para facilitar a aplicação de frações parciais. Resolvendo a equação quadrática z^2 - z + 14 = 0:
Usando a fórmula quadrática:
z = 1 pm raiz1 - 12 = 12
Isso significa que o denominador pode ser escrito como (z - 12)^2. Então, nossa expressão fica:
X(z) = 2 z^2 + z(z - 12)^2

Passo 4

Para encontrar a transformada inversa, vamos expressar X(z) em uma forma que possamos aplicar as transformadas conhecidas. Vamos decompôr em frações parciais:
2 z^2 + z(z - 12)^2 = A cdot 1z - 12 + B cdot 1(z - 12)^2
Multiplicando ambos os lados por (z - 12)^2:
2 z^2 + z = A (z - 12) + B
Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Expanda o lado direito:
2 z^2 + z = A z - A2 + B
Comparando os coeficientes:
  • Para z^2: 2 no lado esquerdo e 0 no direito, então isso indica que há um erro na decomposição. Precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Na verdade, a expressão original pode ser reescrita melhor assim:
Observe que:
2 z^2 + z = 2 (z^2 - z + 14) + 32 z
Então,
X(z) = 2 (z^2 - z + 14) + 32 z(z - 12)^2 = 21 + 32 z(z - 12)^2

Passo 5

Agora, vamos separar as partes:
X(z) = 2 + 32 z(z - 12)^2
Podemos reescrever a segunda parte para facilitar a transformação inversa:
32 z(z - 12)^2 = 32 (z - 12 + 12)(z - 12)^2 = 32z - 12 + 34(z - 12)^2
Então,
X(z) = 2 + 32z - 12 + 34(z - 12)^2

Passo 6

Agora, podemos aplicar a transformada inversa parte por parte. Sabemos que:
  • Z^-1 1z - a = a^n u[n]
  • Z^-1 1(z - a)^2 = n a^n-1 u[n]
Aplicando isso:
  1. Para o termo constante 2:
Z^-12 = 2 de
  1. Para 32z - 12:
Z^-1 32z - 12 = 32 (12)^n u[n]
  1. Para 34(z - 12)^2:
Z^-1 34(z - 12)^2 = 34 cdot n (12)^n-1 u[n] = 32 n (12)^n u[n]

Passo 7

Juntando todas as partes, temos:
x[n] = 2 de
Podemos simplificar um pouco mais combinando os termos:
x[n] = 2 de

Resposta

A transformada inversa é dada por
x[n] = 2,de
com a região de convergência |z| > 12.

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