Um corpo percorre uma trajetória retilínea de acordo com a lei x=16 t-6 t^2, onde x é medido em metros e t em segundos. Resolva:
Obtenha a expressão geral para a aceleração instantânea num instante qualquer;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um corpo que se move em linha reta, seguindo a trajetória dada pela função $ x = 16 t - 6 t^{2} $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão geral para a aceleração instantânea desse corpo em qualquer instante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que a velocidade $ v(t) $ é a primeira derivada da função posição $ x(t) $ em relação a $ t $. Então, vamos derivar $ x = 16 t - 6 t^{2} $:
v(t)

Passo 3

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Isso significa que a aceleração $ a(t) $ é a segunda derivada da posição $ x(t) $ ou a primeira derivada da velocidade $ v(t) $. Vamos derivar $ v(t) = 16 - 12 t $:
a(t)

Resposta

A expressão geral para a aceleração instantânea é $ a(t) = -12 $ metros por segundo ao quadrado.

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