Um corpo de 2 , 0 0 k g, preso a certa mola com constante de força k=4 0 0 N / m, constitui um oscilador fracamente amortecido com amplitude inicial de 3 , 0 0 c m. Calcular (a) o período e (b) a energia total inicial. (c) Se a energia diminui de 1 0 , 0 % por “período”, calcular a constante de atrito b e o fator de qualidade Q. Res.: a) 0 , 4 4 4 s ; b ) 0 , 9 0 0 times 1 0 ^ - 3 J ; c ) 0 , 2 3 7 r a d / s e 59 , 6

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa-mola fracamente amortecido com massa m=2,00 kg, constante da mola k=400 N/m e amplitude inicial A=3,00 cm. Vamos precisar de:
– fórmula do período do oscilador não amortecido T=2piraizm/k,
– energia total em MHS E=tfrac12,k,A^2,
– decaimento exponencial da energia sob atrito viscoso E(t)=E0exp(-b,t/m),
– definição do fator de qualidade Q = dfracm,omega0b com omega0=raizk/m.

Passo 2

Para o período usamos
T ;=; 2pi raizmk
Substituindo m=2,00 kg e k=400 N/m,
T = 2piraiz2,00400 = 2piraiz0,005 approx 0,444 s

Passo 3

A energia total inicial em MHS (máxima) é
E = 12,k,A^2,
com A=3,00 cm=0,030 m. Logo
E = tfrac12 times 400 times (0,030)^2 = 200 times 0,0009 = 0,180 J
Mas atenção: a amplitude é 3,00 cm, então (0,030)^2=0,0009 e 200times0,0009=0,180. Se a pergunta usa unidades em 10^-3 J, fica
E = 0,180 J = 0,180times10^0 J = 0,900times10^-1 J
(ou simplesmente 1,80times10^-1 J).

Passo 4

Diz-se que a cada período a energia cai a 90 % do valor anterior, isto é
E(T)E0 = e^-,b,T/m = 0,90
Tomando logaritmo,
-b,Tm = ln(0,90)Longrightarrow b = -mT,ln(0,90)
Substituindo m=2,00 kg, T=0,444 s e ln(0,90)approx -0,10536, vem
b = 2,000,444times0,10536 approx 0,475 kg/s

Passo 5

O fator de qualidade é definido por
Q = m,omega0b, omega0 = raizkm = raiz4002,00 = raiz200approx14,142 rad/s
Assim
Q = 2,00times14,1420,475 approx 59,6

Resposta

a) T = 0,444 s
b) E = tfrac12,k,A^2 = 0,180 J
c) b = 0,475 kg/s e Q = 59,6

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