Diâmetro =10 \mathrm{~cm} e Altura =20 \mathrm{~cm}.
Massa úmida =3,40 \mathrm{~kg}.
Massa seca =2,90 \mathrm{~kg}.
Peso específico dos grãos (\mathbf{Y g})=2,65 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
Pede-se calcular:
a) O volume total do corpo de prova.
b) O teor de umidade (w%).
c) O peso dos sólidos (Ps) e o peso da água (Pa).
d) O volume dos sólidos (Vs).
e) O volume de vazios (Vv).
f) O índice de vazios (e) e a porosidade (n).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado deu (peguei estes números do enunciado) e o que pede:
Dados:
Diâmetro =10\\ \mathrm{cm}.
Altura =20\\ \mathrm{cm}.
Massa úmida =3,40\\ \mathrm{kg}.
Massa seca =2,90\\ \mathrm{kg}.
Peso específico dos grãos (densidade dos sólidos) Y_g=2,65\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
O que pede:
a) O volume total do corpo de prova.
b) O teor de umidade ( w\% ).
c) O peso dos sólidos (P_s) e o peso da água (P_a).
d) O volume dos sólidos (V_s).
e) O volume de vazios (V_v).
f) O índice de vazios (e) e a porosidade (n).
Passo 2
Calcular o volume total do cilindro. Lembrete: o volume de um cilindro é área da base vezes altura, e a base é um círculo. As fórmulas que vamos usar:
\text{área da base}=\pi r^{2},\qquad V_{\text{total}}=\pi r^{2}h,
onde r é o raio e h a altura. Aqui o diâmetro é 10\\ \mathrm{cm}, logo o raio é
Explicação curta: w\% diz quantos por cento da massa seca correspondem à massa de água.
Passo 4
Calcular o peso (aqui explico massa × gravidade se for preciso) dos sólidos P_s e o peso da água P_a.
Primeiro apresento as massas (que normalmente se chamam, em geotecnia, de “pesos” de forma coloquial):
Massa de sólidos (massa seca): M_s=2,90\\ \mathrm{kg}.
Massa de água: M_a=0,50\\ \mathrm{kg}.
Se desejar o peso (força) em newtons, multiplica-se pela gravidade g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
P_s = M_s\cdot g = 2{,}90\cdot9{,}81\approx28{,}45\\ \mathrm{N},
P_a = M_a\cdot g = 0{,}50\cdot9{,}81\approx4{,}905\\ \mathrm{N}.
Resumo: normalmente nas provas geotécnicas usa-se a massa (kg) como P_s e P_a em kg — eu dei ambos: massas e também os pesos (força) em N para ficar completo.
Passo 5
Calcular o volume dos sólidos V_s. Usamos a relação entre massa, densidade e volume:
onde m é a massa e \rho a densidade. Aqui a densidade dos grãos foi dada como Y_g=2{,}65\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Atenção às unidades: vou converter a massa dos sólidos para gramas para usar \mathrm{g/cm^{3}}:
Explicação: isso significa que os grãos sólidos ocupam 1094{,}34\\ \mathrm{cm^{3}} de volume se compactados sem considerar vazios internos entre grãos.
Passo 6
Calcular o volume de vazios V_v. Definição:
V_v = V_{\text{total}}-V_s.
Substituindo os valores numéricos (usando os resultados anteriores em \mathrm{cm^{3}}):
Observação útil (cheque rápido): existe a relação entre e e n:
n=\frac{e}{1+e}.
Se inserir e=0{,}4355 obtém-se n\approx0{,}3034, confirmando o cálculo.
Passo 8
Pequeno resumo numérico (valores arredondados com 3–4 dígitos significativos) e checagem mental:
Volume total cerca de 1{,}571\\ \mathrm{L} (o que faz sentido para um cilindro de 10 cm × 20 cm).
Volume de sólidos menor que o total; volume de vazios razoável (\sim30\% de porosidade), compatível com solos soltos a médios.
Força e ânimo: está indo bem — esses passos e fórmulas são as que costumam cair nas provas; pratique aplicar várias vezes que fica automático.
Resposta
a) V_{\text{total}}=1570{,}8\\ \mathrm{cm^{3}}
b) w=17{,}24\%
c) P_s (massa de sólidos) =2{,}90\\ \mathrm{kg}\RightarrowP_s (força) \approx28{,}45\\ \mathrm{N} P_a (massa de água) =0{,}50\\ \mathrm{kg}\RightarrowP_a (força) \approx4{,}905\\ \mathrm{N}