Um corpo de prova cilíndrico de solo tem:
  • Diâmetro =10 \mathrm{~cm} e Altura =20 \mathrm{~cm}.
  • Massa úmida =3,40 \mathrm{~kg}.
  • Massa seca =2,90 \mathrm{~kg}.
  • Peso específico dos grãos (\mathbf{Y g})=2,65 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Pede-se calcular:

a) O volume total do corpo de prova.
b) O teor de umidade (w%).
c) O peso dos sólidos (Ps) e o peso da água (Pa).
d) O volume dos sólidos (Vs).
e) O volume de vazios (Vv).

f) O índice de vazios (e) e a porosidade (n).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado deu (peguei estes números do enunciado) e o que pede:
  • Dados:
    • Diâmetro =10\\ \mathrm{cm}.
    • Altura =20\\ \mathrm{cm}.
    • Massa úmida =3,40\\ \mathrm{kg}.
    • Massa seca =2,90\\ \mathrm{kg}.
    • Peso específico dos grãos (densidade dos sólidos) Y_g=2,65\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • O que pede:
    a) O volume total do corpo de prova.
    b) O teor de umidade ( w\% ).
    c) O peso dos sólidos ( P_s) e o peso da água ( P_a).
    d) O volume dos sólidos ( V_s).
    e) O volume de vazios ( V_v).
    f) O índice de vazios ( e) e a porosidade ( n).

Passo 2

Calcular o volume total do cilindro. Lembrete: o volume de um cilindro é área da base vezes altura, e a base é um círculo. As fórmulas que vamos usar:
\text{área da base}=\pi r^{2},\qquad V_{\text{total}}=\pi r^{2}h,á
onde r é o raio e h a altura. Aqui o diâmetro é 10\\ \mathrm{cm}, logo o raio é
r=\frac{10}{2}=5\\ \mathrm{cm}.
Substituindo:
V_{\text{total}}=\pi\cdot(5\\ \mathrm{cm})^{2}\cdot(20\\ \mathrm{cm})=\pi\cdot25\cdot20=500\pi\\ \mathrm{cm^{3}}.
Calculando numericamente (use \pi\approx3,1416):
V_{\text{total}}\approx 500\cdot3,1416=1570{,}8\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 3

Calcular o teor de umidade w\%. Primeiro definimos as quantidades:
  • Massa úmida M_u=3,40\\ \mathrm{kg}.
  • Massa seca M_s=2,90\\ \mathrm{kg}.
    A água presente tem massa
M_a=M_u-M_s=3,40-2,90=0,50\\ \mathrm{kg}.
O teor de umidade em porcentagem (base seca) é definido por
w(\%)=\frac{M_a}{M_s}\times100\%.
Substituindo:
w(\%)=\frac{0,50}{2,90}\times100\%\approx17{,}24\%.
Explicação curta: w\% diz quantos por cento da massa seca correspondem à massa de água.

Passo 4

Calcular o peso (aqui explico massa × gravidade se for preciso) dos sólidos P_s e o peso da água P_a.
Primeiro apresento as massas (que normalmente se chamam, em geotecnia, de “pesos” de forma coloquial):
  • Massa de sólidos (massa seca): M_s=2,90\\ \mathrm{kg}.
  • Massa de água: M_a=0,50\\ \mathrm{kg}.
Se desejar o peso (força) em newtons, multiplica-se pela gravidade g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
P_s = M_s\cdot g = 2{,}90\cdot9{,}81\approx28{,}45\\ \mathrm{N},
P_a = M_a\cdot g = 0{,}50\cdot9{,}81\approx4{,}905\\ \mathrm{N}.
Resumo: normalmente nas provas geotécnicas usa-se a massa (kg) como P_s e P_a em kg — eu dei ambos: massas e também os pesos (força) em N para ficar completo.

Passo 5

Calcular o volume dos sólidos V_s. Usamos a relação entre massa, densidade e volume:
\rho=\frac{m}{V}\quad\Longrightarrow\quad V=\frac{m}{\rho},
onde m é a massa e \rho a densidade. Aqui a densidade dos grãos foi dada como Y_g=2{,}65\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Atenção às unidades: vou converter a massa dos sólidos para gramas para usar \mathrm{g/cm^{3}}:
M_s=2{,}90\\ \mathrm{kg}=2900\\ \mathrm{g}.
Então
V_s=\frac{2900\\ \mathrm{g}}{2{,}65\\ \mathrm{g/cm^{3}}}\approx1094{,}34\\ \mathrm{cm^{3}}.
Explicação: isso significa que os grãos sólidos ocupam 1094{,}34\\ \mathrm{cm^{3}} de volume se compactados sem considerar vazios internos entre grãos.

Passo 6

Calcular o volume de vazios V_v. Definição:
V_v = V_{\text{total}}-V_s.
Substituindo os valores numéricos (usando os resultados anteriores em \mathrm{cm^{3}}):
V_v \approx 1570{,}80 - 1094{,}34 = 476{,}46\\ \mathrm{cm^{3}}.
Interpretação: este é o volume ocupado por ar + água dentro do corpo de prova (o espaço vazio entre partículas).

Passo 7

Calcular o índice de vazios e e a porosidade n. Definições e fórmulas:
  • Índice de vazios (razão vazios/sólidos):
e=\frac{V_v}{V_s}.
  • Porosidade (fração de vazios em relação ao volume total):
n=\frac{V_v}{V_{\text{total}}}.
Calculemos:
e=\frac{476{,}46}{1094{,}34}\approx0{,}4355\\ \approx0{,}436.
n=\frac{476{,}46}{1570{,}80}\approx0{,}3034 \quad\text{ou}\quad n\approx30{,}34\%.
Observação útil (cheque rápido): existe a relação entre e e n:
n=\frac{e}{1+e}.
Se inserir e=0{,}4355 obtém-se n\approx0{,}3034, confirmando o cálculo.

Passo 8

Pequeno resumo numérico (valores arredondados com 3–4 dígitos significativos) e checagem mental:
  • Volume total cerca de 1{,}571\\ \mathrm{L} (o que faz sentido para um cilindro de 10 cm × 20 cm).
  • Volume de sólidos menor que o total; volume de vazios razoável ( \sim30\% de porosidade), compatível com solos soltos a médios.
    Força e ânimo: está indo bem — esses passos e fórmulas são as que costumam cair nas provas; pratique aplicar várias vezes que fica automático.

Resposta

a) V_{\text{total}}=1570{,}8\\ \mathrm{cm^{3}}
b) w=17{,}24\%
c) P_s (massa de sólidos) =2{,}90\\ \mathrm{kg} \Rightarrow P_s (força) \approx28{,}45\\ \mathrm{N}
P_a (massa de água) =0{,}50\\ \mathrm{kg} \Rightarrow P_a (força) \approx4{,}905\\ \mathrm{N}
d) V_s=1094{,}34\\ \mathrm{cm^{3}}
e) V_v=476{,}46\\ \mathrm{cm^{3}}
f) e=0{,}4355\\ (\approx0{,}436)
n=0{,}3034\\ (\approx30{,}34\%)

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