Estude com relaçāo a máximos e minimos a função f(x, y)=x^{2}+y^{2} com a restrição y-x^{2}=2.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=x^{2}+y^{2}\, e a restrição \,y-x^{2}=2\,.
O que se pede: encontrar os extremos (máximos e mínimos) de f quando (x,y) varia apenas sobre os pontos que satisfazem a restrição.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função objetivo é \,f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,.
  • A restrição pode ser escrita como \,y=x^{2}+2\, (peguei isso da restrição \,y-x^{2}=2\,).
  • Buscamos extremos (se houver) de f na curva definida por \,y=x^{2}+2\,.

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação didática e simples): aqui a restrição já está explícita em função de x — isto é, dá diretamente y em termos de x. Quando a restrição permite escrever uma variável em função da outra, a maneira mais direta e elementar é substituir essa expressão na função objetivo, reduzindo o problema a uma função de uma única variável. Isso evita introduzir multiplicadores de Lagrange (que também funcionariam) e é mais simples para calcular derivadas e testar extremos. Vou, portanto, substituir \,y=x^{2}+2\, em f e estudar a função resultante de uma variável.

Passo 3

Substituição da restrição em f para obter uma função de x só. Defino
g(x)=f\bigl(x,\,x^{2}+2\bigr).
Calculo g(x):
g(x)=x^{2}+\bigl(x^{2}+2\bigr)^{2}.
Agora desenvolvo \bigl(x^{2}+2\bigr)^{2}:
\bigl(x^{2}+2\bigr)^{2}=x^{4}+4x^{2}+4.
Somando x^{2} obtemos
g(x)=x^{2}+x^{4}+4x^{2}+4=x^{4}+5x^{2}+4.

Passo 4

Encontrar pontos críticos de g — isto corresponde a pontos candidatos a extremos de f sobre a curva. Primeiro calculo a derivada de g:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+5x^{2}+4\bigr)=4x^{3}+10x.
Coloco g'(x)=0 para achar candidatos:
4x^{3}+10x=0.
Fatorando:
4x^{3}+10x=2x(2x^{2}+5)=0.
As soluções reais são dadas por 2x=0 ou 2x^{2}+5=0. Como 2x^{2}+5>0 para todo x real, a única solução real é
x=0.

Passo 5

Determinar o tipo do ponto crítico x=0 usando a segunda derivada de g. Calculo
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}+10x\bigr)=12x^{2}+10.
Avalio em x=0:
g''(0)=12\cdot0^{2}+10=10>0.
Como g''(0)>0, g tem um mínimo local (na verdade mínimo global, como veremos) em x=0. Agora obtenho a coordenada y correspondente pela restrição \,y=x^{2}+2\,:
y(0)=0^{2}+2=2.
Calculo o valor mínimo:
f(0,2)=g(0)=0^{4}+5\cdot0^{2}+4=4.
Interpretação geométrica rápida (para fixar a intuição): minimizar f(x,y)=x^{2}+y^{2} com a restrição é o mesmo que encontrar o ponto da parábola y=x^{2}+2 mais próximo da origem; esse ponto é (0,2) e a distância até a origem é \sqrt{4}=2.

Passo 6

Verificar existência de máximo. Olho o comportamento de g(x)=x^{4}+5x^{2}+4 quando |x| cresce: o termo dominante é x^{4}, logo \,g(x)\to+\infty quando |x|\to+\infty. Isso significa que sobre a curva \,y=x^{2}+2\, os valores de f crescem sem limite superior, portanto não existe máximo (nem local máximo global). Em outras palavras, f é não limitada superiormente na região da restrição.

Passo 7

Recapitulando de forma objetiva (para decorar e usar na prova):
  • Há um único ponto crítico real dado por x=0.
  • O ponto correspondente na curva é (0,2).
  • Em (0,2) a função atinge o valor mínimo \,f_{\min}=4\,.
  • Não existe máximo porque f\to+\infty ao seguir a curva para |x|\to\infty.

Resposta

Mínimo: \,f_{\min}=4 em (0,2).
Máximo: não existe (a função é não limitada superiormente sobre a restrição).

Exercícios relacionados