Estude com relaçāo a máximos e minimos a função
com a restrição
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a restrição
O que se pede: encontrar os extremos (máximos e mínimos) de quando
varia apenas sobre os pontos que satisfazem a restrição.
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: encontrar os extremos (máximos e mínimos) de
Informações relevantes fornecidas:
- A função objetivo é
. - A restrição pode ser escrita como
(peguei isso da restrição ). - Buscamos extremos (se houver) de
na curva definida por .
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática e simples): aqui a restrição já está explícita em função de
— isto é, dá diretamente
em termos de
. Quando a restrição permite escrever uma variável em função da outra, a maneira mais direta e elementar é substituir essa expressão na função objetivo, reduzindo o problema a uma função de uma única variável. Isso evita introduzir multiplicadores de Lagrange (que também funcionariam) e é mais simples para calcular derivadas e testar extremos. Vou, portanto, substituir
em
e estudar a função resultante de uma variável.
Passo 3
Substituição da restrição em
para obter uma função de
só. Defino
Calculo
:
Agora desenvolvo
:
Somando
obtemos
Passo 4
Encontrar pontos críticos de
— isto corresponde a pontos candidatos a extremos de
sobre a curva. Primeiro calculo a derivada de
:
Coloco
para achar candidatos:
Fatorando:
As soluções reais são dadas por
ou
. Como
para todo
real, a única solução real é
Passo 5
Determinar o tipo do ponto crítico
usando a segunda derivada de
. Calculo
Avalio em
:
Como
,
tem um mínimo local (na verdade mínimo global, como veremos) em
. Agora obtenho a coordenada
correspondente pela restrição
:
Calculo o valor mínimo:
Interpretação geométrica rápida (para fixar a intuição): minimizar
com a restrição é o mesmo que encontrar o ponto da parábola
mais próximo da origem; esse ponto é
e a distância até a origem é
.
Passo 6
Verificar existência de máximo. Olho o comportamento de
quando
cresce: o termo dominante é
, logo
quando
. Isso significa que sobre a curva
os valores de
crescem sem limite superior, portanto não existe máximo (nem local máximo global). Em outras palavras,
é não limitada superiormente na região da restrição.
Passo 7
Recapitulando de forma objetiva (para decorar e usar na prova):
- Há um único ponto crítico real dado por
. - O ponto correspondente na curva é
. - Em
a função atinge o valor mínimo . - Não existe máximo porque
ao seguir a curva para .
Resposta
Mínimo:
em
.
Máximo: não existe (a função é não limitada superiormente sobre a restrição).
Máximo: não existe (a função é não limitada superiormente sobre a restrição).