Mostre que a equação
define uma função
implicitamente em torno do ponto
e calcule o gradiente
dessa função.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e o ponto
. As perguntas são:
- Mostrar que essa equação define, implicitamente, uma função
numa vizinhança do ponto . - Calcular o gradiente
dessa função (isto é, as derivadas parciais e ), em particular no ponto dado.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona três variáveis
. - O ponto
pertence à superfície dada (isso precisa ser verificado). - Para aplicar o teorema da função implícita é importante calcular a derivada parcial de
em relação a e verificar se ela é não nula no ponto.
Passo 2
Definir uma função auxiliar
cuja superfície de nível zero é exatamente a equação dada. Tomamos
Primeiro verificamos que o ponto pertence à superfície: substituir
em
:
Portanto o ponto está sobre a superfície
, como exigido.
Passo 3
O teorema da função implícita diz, em palavras simples, que se
é continuamente diferenciável numa vizinhança do ponto e se a derivada parcial
naquele ponto for diferente de zero, então existe uma função diferenciável
definida numa vizinhança do ponto
tal que
. Então precisamos calcular
e avaliá-la no ponto.
Calculemos a derivada parcial de
em relação a
:
Agora avaliamos em
:
Como
, a condição do teorema da função implícita está satisfeita.
Passo 4
Pela verificação anterior (ponto na superfície e
no ponto), concluímos que existe uma vizinhança de
no plano
e uma função diferenciável
tal que, para
nessa vizinhança,
ou seja, a equação dada define implicitamente
em torno de
. Isso resolve a primeira parte do problema.
Passo 5
Agora vamos achar o gradiente
, isto é, as derivadas parciais
e
. A ideia é diferenciar a identidade
em relação a
e a
usando a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia aqui de forma simples: se
depende de
,
e
, e
depende de
e
via
, então ao derivar
em relação a
obtemos a soma das derivadas parciais de
multiplicadas pelas derivadas correspondentes (derivada parcial de
em
vezes
, mais derivada parcial de
em
vezes
).
Diferenciando em relação a
obtemos:
Isolando
resulta
Passo 6
De forma análoga, diferenciando em relação a
e aplicando a regra da cadeia obtemos:
logo
Essas fórmulas expressam as derivadas parciais de
em termos das derivadas parciais de
.
Passo 7
Precisamos agora das expressões de
e
. Calculamos:
e
Relembrando que
(calculado no Passo 3).
Passo 8
Substituindo essas expressões nas fórmulas de
e
temos fórmulas gerais (em que
deve ser entendido como
):
Essas são as derivadas parciais em termos de
e do valor de
correspondente.
Passo 9
Finalmente avaliamos as derivadas no ponto
. Primeiro recolhendo os valores já calculados:
Usando
e
obtemos
Portanto o gradiente de
no ponto corresponde ao vetor
Passo 10
Resumo didático rápido (como lembrar na prova): para funções implícitas escreva
, verifique
e
no ponto; então
existe perto do ponto e
avaliando as derivadas parciais de
no ponto. Aqui aplicando isso obteve-se
.
Resposta
Sim: existe
implicitamente numa vizinhança de
porque
.