Mostre que a equação z x^{2}+y^{2}-y z^{3}=6 define uma função z=g(x, y) implicitamente em torno do ponto (1,0,6) e calcule o gradiente \nabla g dessa função.

Passo 1

O enunciado dá a equação
z x^{2}+y^{2}-y z^{3}=6
e o ponto (1,0,6). As perguntas são:
  • Mostrar que essa equação define, implicitamente, uma função z=g(x,y) numa vizinhança do ponto (1,0,6).
  • Calcular o gradiente \nabla g dessa função (isto é, as derivadas parciais g_x e g_y), em particular no ponto dado.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona três variáveis x,y,z.
  • O ponto (1,0,6) pertence à superfície dada (isso precisa ser verificado).
  • Para aplicar o teorema da função implícita é importante calcular a derivada parcial de F(x,y,z) em relação a z e verificar se ela é não nula no ponto.

Passo 2

Definir uma função auxiliar F(x,y,z) cuja superfície de nível zero é exatamente a equação dada. Tomamos
F(x,y,z)=z x^{2}+y^{2}-y z^{3}-6.
Primeiro verificamos que o ponto pertence à superfície: substituir (x,y,z)=(1,0,6) em F:
F(1,0,6)=6\cdot 1^{2}+0^{2}-0\cdot 6^{3}-6=6-6=0.
Portanto o ponto está sobre a superfície F(x,y,z)=0, como exigido.

Passo 3

O teorema da função implícita diz, em palavras simples, que se F é continuamente diferenciável numa vizinhança do ponto e se a derivada parcial \partial F/\partial z naquele ponto for diferente de zero, então existe uma função diferenciável z=g(x,y) definida numa vizinhança do ponto (x,y)=(1,0) tal que F(x,y,g(x,y))=0. Então precisamos calcular \partial F/\partial z e avaliá-la no ponto.
Calculemos a derivada parcial de F em relação a z:
\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)=x^{2}-3y z^{2}.
Agora avaliamos em (1,0,6):
\frac{\partial F}{\partial z}(1,0,6)=1^{2}-3\cdot 0\cdot 6^{2}=1.
Como \frac{\partial F}{\partial z}(1,0,6)=1\neq 0, a condição do teorema da função implícita está satisfeita.

Passo 4

Pela verificação anterior (ponto na superfície e \partial F/\partial z\neq0 no ponto), concluímos que existe uma vizinhança de (1,0) no plano (x,y) e uma função diferenciável g tal que, para (x,y) nessa vizinhança,
F(x,y,g(x,y))=0,
ou seja, a equação dada define implicitamente z=g(x,y) em torno de (1,0,6). Isso resolve a primeira parte do problema.

Passo 5

Agora vamos achar o gradiente \nabla g, isto é, as derivadas parciais g_x e g_y. A ideia é diferenciar a identidade
F(x,y,g(x,y))=0
em relação a x e a y usando a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia aqui de forma simples: se F depende de x, y e z, e z depende de x e y via z=g(x,y), então ao derivar F(x,y,g(x,y)) em relação a x obtemos a soma das derivadas parciais de F multiplicadas pelas derivadas correspondentes (derivada parcial de F em x vezes 1, mais derivada parcial de F em z vezes g_x).
Diferenciando em relação a x obtemos:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,g(x,y))+\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,g(x,y))\cdot g_x(x,y)=0.
Isolando g_x resulta
g_x(x,y)=-\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y,g(x,y))}{\dfrac{\partial F}{\partial z}(x,y,g(x,y))}.

Passo 6

De forma análoga, diferenciando em relação a y e aplicando a regra da cadeia obtemos:
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,g(x,y))+\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,g(x,y))\cdot g_y(x,y)=0,
logo
g_y(x,y)=-\frac{\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y,g(x,y))}{\dfrac{\partial F}{\partial z}(x,y,g(x,y))}.
Essas fórmulas expressam as derivadas parciais de g em termos das derivadas parciais de F.

Passo 7

Precisamos agora das expressões de \partial F/\partial x e \partial F/\partial y. Calculamos:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z x^{2}+y^{2}-y z^{3}-6\bigr)=2xz,
e
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(z x^{2}+y^{2}-y z^{3}-6\bigr)=2y-z^{3}.
Relembrando que \partial F/\partial z(x,y,z)=x^{2}-3y z^{2} (calculado no Passo 3).

Passo 8

Substituindo essas expressões nas fórmulas de g_x e g_y temos fórmulas gerais (em que z deve ser entendido como z=g(x,y)):
g_x(x,y)=-\frac{2 x z}{x^{2}-3y z^{2}}, \qquad g_y(x,y)=-\frac{2 y - z^{3}}{x^{2}-3y z^{2}}.
Essas são as derivadas parciais em termos de x,y e do valor de z correspondente.

Passo 9

Finalmente avaliamos as derivadas no ponto (x,y,z)=(1,0,6). Primeiro recolhendo os valores já calculados:
\frac{\partial F}{\partial x}(1,0,6)=2\cdot 1\cdot 6=12,
\frac{\partial F}{\partial y}(1,0,6)=2\cdot 0-6^{3}=-216,
\frac{\partial F}{\partial z}(1,0,6)=1.
Usando g_x=-\dfrac{F_x}{F_z} e g_y=-\dfrac{F_y}{F_z} obtemos
g_x(1,0)=-\frac{12}{1}=-12, \qquad g_y(1,0)=-\frac{-216}{1}=216.
Portanto o gradiente de g no ponto corresponde ao vetor
\nabla g(1,0)=\bigl(g_x(1,0),\,g_y(1,0)\bigr)=(-12,\;216).

Passo 10

Resumo didático rápido (como lembrar na prova): para funções implícitas escreva F(x,y,z)=0, verifique F(x_0,y_0,z_0)=0 e \partial F/\partial z\neq0 no ponto; então z=g(x,y) existe perto do ponto e
g_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad g_y=-\frac{F_y}{F_z},
avaliando as derivadas parciais de F no ponto. Aqui aplicando isso obteve-se \nabla g(1,0)=(-12,216).

Resposta

Sim: existe z=g(x,y) implicitamente numa vizinhança de (1,0,6) porque \dfrac{\partial F}{\partial z}(1,0,6)=1\neq0.
\nabla g(1,0)=(-12,\;216)

Exercícios relacionados