Demonstre que I=I_{0} e^{-t / \tau_{L}} é uma solução da equação diferencial I R+L \frac{d I}{d t}=0, \operatorname{com} \tau_{L}=L / R.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
I R + L \frac{dI}{dt} = 0,
e define a constante de tempo \tau_{L} = \dfrac{L}{R}. Pede-se para demonstrar que a função candidata
I(t)=I_{0}e^{-t/\tau_{L}}
é solução dessa equação. Informação relevante dada:
  • R e L são constantes (resistência e indutância);
  • \tau_{L} = L/R é a constante de tempo;
  • I_{0} é uma constante arbitrária que corresponde ao valor de I em t=0, isto é, I(0)=I_{0}.

Passo 2

Vamos calcular a derivada temporal da função candidata. Usando a regra da cadeia para a exponencial, para I(t)=I_{0}e^{-t/\tau_{L}} tem-se
\frac{dI}{dt}=I_{0}\cdot\frac{d}{dt}\left(e^{-t/\tau_{L}}\right)=I_{0}\left(-\frac{1}{\tau_{L}}\right)e^{-t/\tau_{L}}.
Reescrevendo em termos de I(t), como I(t)=I_{0}e^{-t/\tau_{L}}, obtemos
\frac{dI}{dt}=-\frac{1}{\tau_{L}}\,I(t).

Passo 3

Substituímos I(t) e \dfrac{dI}{dt} na equação diferencial. O lado esquerdo da equação é
R\,I + L\,\frac{dI}{dt} = R\,I(t) + L\left(-\frac{1}{\tau_{L}}\,I(t)\right).
Fatorando I(t),
R\,I(t) - \frac{L}{\tau_{L}}\,I(t) = I(t)\left(R - \frac{L}{\tau_{L}}\right).

Passo 4

Usamos a definição \tau_{L} = \dfrac{L}{R} para simplificar o parêntese:
\frac{L}{\tau_{L}} = \frac{L}{L/R} = R.
Portanto
R - \frac{L}{\tau_{L}} = R - R = 0,
e assim
R\,I + L\,\frac{dI}{dt} = I(t)\cdot 0 = 0.
Isso mostra que a função candidata satisfaz exatamente a equação diferencial.

Passo 5

Para aprendizado: vamos também resolver a equação diferencial do zero, mostrando como se chega naturalmente à solução exponencial.
Reescrevendo a equação,
L\frac{dI}{dt} + R I = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dI}{dt} = -\frac{R}{L}\,I.
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem, separável. Separando variáveis:
\frac{dI}{I} = -\frac{R}{L}\,dt.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dI}{I} = -\frac{R}{L}\int dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|I| = -\frac{R}{L}\,t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
|I| = e^{C} e^{-(R/L)t}.
Incorporando o sinal em uma constante arbitrária I_{0} (que é I(0)), obtemos
I(t)=I_{0}e^{-(R/L)t}.
Usando \tau_{L}=L/R (ou seja, R/L=1/\tau_{L}) obtemos a forma
I(t)=I_{0}e^{-t/\tau_{L}},
que coincide com a função dada. A constante I_{0} é determinada pela condição inicial I(0)=I_{0}.

Passo 6

Interpretação física e dica prática: \tau_{L}=L/R é o tempo característico de decaimento da corrente; após um tempo t=\tau_{L} a corrente caiu para e^{-1}\approx0,37 vezes I_{0}. Exemplo numérico: se L=2\\ \mathrm{H} e R=4\\ \Omega então \tau_{L}=0,5\\ \mathrm{s} e I(\tau_{L})=I_{0}e^{-1}\approx0,37\,I_{0}.

Resposta

I(t)=I_{0}e^{-t/\tau_{L}}

Exercícios relacionados