Demonstre que
é uma solução da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e define a constante de tempo
. Pede-se para demonstrar que a função candidata
é solução dessa equação. Informação relevante dada:
-
e são constantes (resistência e indutância); -
é a constante de tempo; -
é uma constante arbitrária que corresponde ao valor de em , isto é, .
Passo 2
Vamos calcular a derivada temporal da função candidata. Usando a regra da cadeia para a exponencial, para
tem-se
Reescrevendo em termos de
, como
, obtemos
Passo 3
Substituímos
e
na equação diferencial. O lado esquerdo da equação é
Fatorando
,
Passo 4
Usamos a definição
para simplificar o parêntese:
Portanto
e assim
Isso mostra que a função candidata satisfaz exatamente a equação diferencial.
Passo 5
Para aprendizado: vamos também resolver a equação diferencial do zero, mostrando como se chega naturalmente à solução exponencial.
Reescrevendo a equação,
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem, separável. Separando variáveis:
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando:
Incorporando o sinal em uma constante arbitrária
(que é
), obtemos
Usando
(ou seja,
) obtemos a forma
que coincide com a função dada. A constante
é determinada pela condição inicial
.
Passo 6
Interpretação física e dica prática:
é o tempo característico de decaimento da corrente; após um tempo
a corrente caiu para
vezes
. Exemplo numérico: se
e
então
e
.