Se um corpo em queda livre parte do repouso, então o seu deslocamento é dado por s=12 g t^2. Considere que a velocidade depois de um tempo T seja vT. Mostre que, se calcularmos a média das velocidades em relação a t, obteremos vmed=12 vT, mas se calcularmos a média das velocidades em relação a s, teremos v med =23 vT.

Passo 1

O enunciado: em queda livre partindo do repouso tem-se s=tfrac12g t^2 e a velocidade no instante T é vT=gT. Vamos usar conceitos de cinemática: velocidade instantânea v=ds/dt e as definições de velocidade média no tempo e no espaço.

Passo 2

Para a média temporal, usamos a definição
vmed,(t)=1Tintegral0^Tv(t),dt
Como v(t)=g,t, substituímos e obtemos
$$
v_{med,(t)}= rac{1}{T}
\int_{0}^{T}g,t,dt
= rac{g}{T}
\n\left[\frac{t{2}}{2}\right]_{0}{T}
= rac{gT}{2}
= frac12v_T.
$$

Passo 3

Para a média em relação ao espaço, adotamos a definição
vmed,(s)= rac1s(T)integral0^s(T)v,ds
Sabendo que ds=v,dt e que s(T)=tfrac12gT^2, o numerador fica
integral0^s(T)v,ds= integral0^Tvcdot v,dt= integral0^T(g,t)^2,dt

Passo 4

Calculamos então
integral0^T(g,t)^2,dt=g^2integral0^Tt^2,dt=g^2T^33= racg^2T^33
Como s(T)=tfrac12gT^2, temos
vmed,(s)= rac(g^2T^3/3)tfrac12gT^2= rac2gT3= frac23vT

Resposta

Para média temporal: vmed,(t)=tfrac12vT. Para média espacial: vmed,(s)=tfrac23vT.

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