Um corpo rígido, que parte do repouso, gira em torno de um eixo fixo com uma aceleração angular alpha constante. Considere ụna partícula a uma distância r do eixo. Expresse a accicração radial desta partfcula em termos de alpha, r e o tempo.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um corpo rígido que começa parado e começa a girar ao redor de um eixo fixo com uma aceleração angular constante, que chamaremos de alpha. Estamos olhando para uma partícula que está a uma distância r desse eixo. O que queremos descobrir é a aceleração radial dessa partícula, ou seja, como ela está acelerando em direção ao centro do giro, em termos de alpha, r e do tempo t. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento circular, aceleração angular e como eles se relacionam com a aceleração radial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um corpo gira com aceleração angular constante alpha, a sua velocidade angular omega aumenta com o tempo. A relação entre a aceleração angular e a velocidade angular é dada por:
omega = alpha t
Isso significa que a velocidade com que a partícula está girando ao redor do eixo aumenta linearmente com o tempo.

Passo 3

Agora, a aceleração radial (ou centrípeta) é a aceleração que mantém a partícula em movimento circular, puxando-a em direção ao centro. A fórmula para a aceleração radial ar é:
ar = omega^2 r
Aqui, omega é a velocidade angular, e r é a distância da partícula ao eixo de rotação.

Passo 4

Como já temos a relação entre omega e t ( omega = alpha t), podemos substituir omega na fórmula da aceleração radial:
ar = (alpha t)^2 r
Isso simplifica para:
ar = alpha^2 t^2 r

Resposta

A aceleração radial da partícula é dada por ar = alpha^2 t^2 r.

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