Um corpo rígido, que parte do repouso, gira em torno de um eixo fixo com uma aceleração angular alpha constante. Considere ụna partícula a uma distância r do eixo. Se a aceleração resultante da partícula cm um determinado instante faz um ângulo de 57,0^circ com a aceleraçăo tangencial, de que ângulo total o corpo girou desde t=0 até este instante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um corpo rígido que começa a girar do zero com uma aceleração angular constante, chamada de $ \alpha $. Temos uma partícula a uma distância $ r $ do eixo de rotação. A aceleração total dessa partícula faz um ângulo de $ 57,0^{\circ} $ com a aceleração tangencial no instante considerado. Nosso objetivo é descobrir qual foi o ângulo total que o corpo girou desde o começo ($ t=0 $) até esse instante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em movimentos circulares, a partícula tem duas acelerações principais: a aceleração tangencial ($ a_t at çãí a_c $).
  • Aceleração Tangencial ($ a_t $): Está relacionada à mudança na velocidade angular. Ela é dada por:
    ac
    onde $ \alpha $ é a aceleração angular e $ r $ é a distância do eixo.
  • Aceleração Centrípeta ($ a_c $): Está relacionada à mudança na direção da velocidade e é dada por:
    at
    onde $ \omega $ é a velocidade angular.

Passo 3

A aceleração total ($ a_{total} $) é a combinação vetorial de $ a_t $ e $ a_c $. O ângulo $ \theta $ entre $ a_{total} $ e $ a_t $ nos dá uma relação entre essas duas acelerações.
Usando trigonometria, temos:
atotal
Substituindo as expressões das acelerações:
at
Simplificando $ r $:
ac

Passo 4

Agora, queremos encontrar o ângulo total girado ($ \theta $) desde $ t=0 $ até o instante considerado. Sabemos que a velocidade angular aumenta com o tempo devido à aceleração angular constante. A relação entre $ \omega $ e $ \theta $ é dada pela equação de movimento angular:
theta
Como o corpo parte do repouso, $ \omega_0 = 0 $, então:
t=0

Passo 5

Voltando à relação obtida anteriormente:
tan(57^circ) = omega^2alpha
Substituímos $ \omega^2 $ por $ 2 \alpha \theta $:
omega^2
Simplificando $ \alpha $:
2 alpha theta
Portanto:
tan(57^circ) = 2 alpha thetaalpha

Resposta

O ângulo total que o corpo girou até esse instante é de aproximadamente $ \theta \approx \frac{\tan(57^\circ)}{2} $ radianos.

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