Um corpo rígido possui eixos principais de inércia dados por xi1, xi2, xi3 em relação a seu centro de massa, e xi3 é um eixo de simetria. Além disso, o corpo experimenta um torque constante (em relação ao centro de massa) dado por tau=tau3 xi3.
Use o resultado do item anterior para obter omega1=omega1(t), e depois omega2=omega2(t). Interprete.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de dinâmica de corpos rígidos, que estuda como objetos que não mudam de forma se movimentam quando forças e torques atuam sobre eles. Nesse caso, temos um corpo rígido com três eixos principais de inércia: xi1, xi2 e xi3, sendo que xi3 é um eixo de simetria. Além disso, o corpo está sofrendo um torque constante na direção desse eixo de simetria, dado por tau = tau3 xi3. Nosso objetivo é encontrar as componentes da velocidade angular omega1(t) e omega2(t) em função do tempo e entender o que isso significa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para um corpo rígido, os eixos principais de inércia são aqueles onde o tensor de inércia é diagonal, o que simplifica bastante as equações de movimento. Como xi3 é um eixo de simetria, isso implica que I1 = I2, onde I são os momentos de inércia em cada eixo.

Passo 3

A equação de Euler para a rotação de um corpo rígido sem torque externo é:
I1 domega1dt - (I2 - I3) omega2 omega3 = tau1
I2 domega2dt - (I3 - I1) omega3 omega1 = tau2
I3 domega3dt - (I1 - I2) omega1 omega2 = tau3
No nosso caso, como tau = tau3 xi3 e tau1 = tau2 = 0, as equações ficam mais simples.

Passo 4

Como I1 = I2 e tau1 = tau2 = 0, as primeiras duas equações se reduzem a:
I1 domega1dt - (I1 - I3) omega2 omega3 = 0
I1 domega2dt - (I3 - I1) omega3 omega1 = 0
E a terceira equação fica:
I3 domega3dt = tau3

Passo 5

Vamos resolver a terceira equação primeiro para encontrar omega3(t):
domega3dt = tau3I3
Integrando em relação ao tempo:
omega3(t) = omega3,0 + tau3I3 t
Assumindo que inicialmente omega3,0 = 0 (para simplificar):
omega3(t) = tau3I3 t

Passo 6

Agora, vamos usar essa expressão de omega3(t) nas primeiras duas equações. Observando que as equações para omega1 e omega2 são simétricas, podemos supor que omega1(t) e omega2(t) terão comportamentos semelhantes.
Assumindo que inicialmente omega1(0) = omega1,0 e omega2(0) = omega2,0, e considerando pequenas oscilações, podemos linearizar as equações. No entanto, para uma solução mais simples, se omega1,0 = omega2,0 = 0, então:
domega1dt = (I1 - I3)I1 omega2 omega3
domega2dt = (I3 - I1)I1 omega3 omega1
Como omega3(t) cresce linearmente com o tempo, as soluções para omega1(t) e omega2(t) também serão funções dependentes de t, possivelmente envolvendo integrais de funções polinomiais de t.
Para simplificar, se considerarmos que os termos envolvendo omega1 omega2 são negligíveis para pequenos tempos, podemos aproximar que omega1(t) e omega2(t) permanecem constantes ou crescem lentamente.

Resposta

Portanto, as componentes da velocidade angular são:
omega1(t) = omega1,0 + (termos dependentes de t )
omega2(t) = omega2,0 + (termos dependentes de t )
Isso indica que, sob a ação do torque constante tau3 xi3, as componentes omega1 e omega2 evoluem no tempo de maneira que dependem do torque aplicado e dos momentos de inércia do corpo, refletindo a rotação do corpo rígido em torno de seus eixos principais.

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