Um corpo rígido possui eixos principais de inércia dados por
em relação a seu centro de massa, e
é um eixo de simetria. Além disso, o corpo experimenta um torque constante (em relação ao centro de massa) dado por
.
Use o resultado do item anterior para obter
, e depois
. Interprete.
Use o resultado do item anterior para obter
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de dinâmica de corpos rígidos, que estuda como objetos que não mudam de forma se movimentam quando forças e torques atuam sobre eles. Nesse caso, temos um corpo rígido com três eixos principais de inércia:
,
e
, sendo que
é um eixo de simetria. Além disso, o corpo está sofrendo um torque constante na direção desse eixo de simetria, dado por
. Nosso objetivo é encontrar as componentes da velocidade angular
e
em função do tempo e entender o que isso significa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para um corpo rígido, os eixos principais de inércia são aqueles onde o tensor de inércia é diagonal, o que simplifica bastante as equações de movimento. Como
é um eixo de simetria, isso implica que
, onde
são os momentos de inércia em cada eixo.
Passo 3
A equação de Euler para a rotação de um corpo rígido sem torque externo é:
No nosso caso, como
e
, as equações ficam mais simples.
Passo 4
Como
e
, as primeiras duas equações se reduzem a:
E a terceira equação fica:
Passo 5
Vamos resolver a terceira equação primeiro para encontrar
:
Integrando em relação ao tempo:
Assumindo que inicialmente
(para simplificar):
Passo 6
Agora, vamos usar essa expressão de
nas primeiras duas equações. Observando que as equações para
e
são simétricas, podemos supor que
e
terão comportamentos semelhantes.
Assumindo que inicialmente
e
, e considerando pequenas oscilações, podemos linearizar as equações. No entanto, para uma solução mais simples, se
, então:
Como
cresce linearmente com o tempo, as soluções para
e
também serão funções dependentes de
, possivelmente envolvendo integrais de funções polinomiais de
.
Para simplificar, se considerarmos que os termos envolvendo
são negligíveis para pequenos tempos, podemos aproximar que
e
permanecem constantes ou crescem lentamente.
Resposta
Portanto, as componentes da velocidade angular são:
Isso indica que, sob a ação do torque constante
, as componentes
e
evoluem no tempo de maneira que dependem do torque aplicado e dos momentos de inércia do corpo, refletindo a rotação do corpo rígido em torno de seus eixos principais.