Torque e aceleração
Essa é uma das questões mencionadas em aula para vocês trabalharem em casa.
O motor do seu carro predileto produz um torque tau. Acoplado ao motor tem uma caixa de mudanças. A ponta do eixo do motor tem uma engrenagem com N motor dentes. A primeira engrenagem da caixa de mudanças tem N1m dentes. O eixo que sai da caixa de mudanças está conectado ao eixo da roda. A roda do carro tem raio R. Isto é quase igual à bicicleta que fizemos em aula, um pouquinho mais simples. O carro tem massa M.
A pergunta é: quanto tempo t o carro leva para atingir a velocidade v.
Se a velocidade angular do eixo do motor for omegae m quanto é a velocidade angular da engrenagem da primeira marcha (omega 1) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que:
  • O motor entrega um torque τ e gira com velocidade angular ωₑₘ.
  • Na ponta do motor tem uma engrenagem de N₍motor₎ dentes que engrena numa engrenagem de N₁ₘ dentes (primeira marcha).
  • A saída dessa primeira engrenagem vai direto pro eixo da roda, que tem raio R.
  • O carro tem massa M e queremos saber quanto tempo t ele leva pra chegar numa velocidade linear v.
    Para resolver isso a gente vai precisar de:
  1. Relação de engrenagens (razão de dentes) pra achar a velocidade angular da engrenagem da primeira marcha (ω₁) em função de ωₑₘ.
  2. Como o torque se transmite pela engrenagem (ele também muda pela mesma razão de dentes).
  3. Converter esse torque na roda em força tangencial e daí em aceleração linear (usando F = ma).
  4. Finalmente, achar o tempo t = v / a.

Passo 2

Teoria de engrenagens (razão de marcha):
Quando duas engrenagens engrenam, a velocidade angular muda inversamente à razão de dentes. Ou seja, se a engrenagem do motor tem N₍motor₎ dentes e a da caixa tem N₁ₘ dentes, então
omega1 ;=;NmotorN1m;omegaem
Isso acontece porque, para manter o mesmo movimento de contato dos dentes, quem tem mais dentes gira mais devagar e quem tem menos dentes gira mais rápido.

Passo 3

Agora vamos ver o torque que chega na roda. A mesma razão de dentes que multiplicou a velocidade, dividiu o torque. Logo, o torque na roda (τ₁) vale
tau1 ;=;tau;N1mNmotor

Passo 4

Com esse torque na roda, a gente gera uma força tangencial F na borda da roda, que é dada por
F ;=;tau1R ;=;tauR,N1mNmotor

Passo 5

Em seguida, pela segunda lei de Newton (F = m a), a aceleração linear do carro é
a ;=;FM ;=;tauR,M,N1mNmotor

Passo 6

Pra fechar, se a aceleração é constante, o tempo pra chegar na velocidade v é
t ;=;va ;=;v tauR,M,N1mNmotor ;=;v,Nmotor,R,Mtau,N1m

Resposta

ω₁ =
t =

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