Um tubo de diâmetro externo D_{i}=10 \mathrm{~mm} transporta fluido mais frio que o ar ambiente. O isolamento tem condutividade k=0.055 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} e o coeficiente de convecção externo é h=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. a) Derive o raio crítico r_{\mathrm{cr}}=\frac{k}{h}. b) Calcule seu valor e discuta se adicionar isolamento além desse raio aumenta ou diminui a perda de calor. (Resposta: r_{\mathrm{cr}}=0.011 \mathrm{~m} )

Passo 1

Aqui está o que o enunciado nos dá e o que pede, bem organizadinho para não ter confusão na hora da prova.
  • Dados fornecidos:
    D_{i}=10\\ \text{mm}=0{,}010\\ \text{m}
    (diâmetro externo do tubo). Portanto o raio externo do tubo (raio inicial, antes do isolamento) é
    r_{i}=\frac{D_{i}}{2}=0{,}005\\ \text{m}.
    A condutividade do isolamento é
    k=0{,}055\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK},
    e o coeficiente de convecção externo é
    h=5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m^{2}K}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) derivar a expressão do raio crítico \;r_{\mathrm{cr}}=\dfrac{k}{h}\;;
    (b) calcular seu valor numérico com os dados e discutir se adicionar isolamento além desse raio aumenta ou diminui a perda de calor.

Passo 2

Conceito físico e estratégia (sem resolver ainda): por que existe um “raio crítico”?
  • O calor atravessa primeiro o isolamento por condução (do tubo para a superfície externa do isolamento) e depois é transferido para o ar por convecção na superfície externa.
  • Para uma geometria cilíndrica, aumentar o raio externo r_{o} faz duas coisas opostas:
    1. Aumenta a espessura do isolamento, aumentando a resistência à condução (o que tende a reduzir a perda de calor).
    2. Aumenta a área externa de convecção A_{o}=2\pi r_{o}L, reduzindo a resistência de convecção (o que tende a aumentar a perda de calor).
  • O raio crítico é o ponto onde esses dois efeitos se equilibram: pequenas camadas de isolamento até r_{o}=r_{\mathrm{cr}} podem na verdade aumentar a perda de calor; só além de r_{\mathrm{cr}} o isolamento passa a reduzir a perda de calor. Para encontrar r_{\mathrm{cr}} vamos escrever a resistência térmica total (por unidade de comprimento) e achar o ponto em que a variação da resistência com r_{o} muda de sinal.

Passo 3

Expressão da resistência térmica total por unidade de comprimento (tomamos comprimento L, mas depois trabalhamos por unidade de comprimento, então L cancela nos passos importantes).
  • Resistência por condução radial no isolamento (entre r_{i} e r_{o}) por unidade de comprimento:
    R_{\mathrm{cond}}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_{o}}{r_{i}}\right).
    Explicação didática de onde vem essa fórmula: em regime estacionário o fluxo térmico por unidade de comprimento q' (W/m) na direção radial satisfaz
    q'=-k\cdot(2\pi r L)\frac{dT}{dr}.
    Rearranjando e integrando de r_{i} a r_{o} obtemos
    \int_{T_{i}}^{T_{o}}\!dT=-\frac{q'}{2\pi kL}\int_{r_{i}}^{r_{o}}\!\frac{dr}{r}
    que leva a \Delta T_{\mathrm{cond}}=q' \frac{1}{2\pi kL}\ln\!\left(\dfrac{r_{o}}{r_{i}}\right). Assim, resistência é a razão \Delta T/q' e resulta na fórmula acima. Aqui:
    • k é a condutividade térmica do isolamento ( \mathrm{W}/\mathrm{mK}),
    • L é o comprimento considerado (m),
    • r_{i} e r_{o} são os raios interno e externo do isolamento (m).
  • Resistência por convecção na superfície externa (raio r_{o}) por unidade de comprimento:
    R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h(2\pi r_{o}L)}.
    Explicação: resistência convectiva é \dfrac{1}{hA} com A=2\pi r_{o}L.
  • Resistência térmica total por unidade de comprimento:
    R_{\mathrm{tot}}(r_{o})=R_{\mathrm{cond}}+R_{\mathrm{conv}} =\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_{o}}{r_{i}}\right)+\frac{1}{2\pi r_{o}L h}.

Passo 4

Relação com a taxa de calor e critério do raio crítico.
  • Para uma diferença de temperatura fixa entre o fluido e o ar ambiente, \Delta T, a taxa de calor por unidade de comprimento é q'=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{tot}}(r_{o})}.
  • O raio crítico é o valor de r_{o} que torna a adição infinitesimal de isolamento indiferente em termos de perda de calor; matematicamente isso corresponde a um extremo de q' em função de r_{o}. Como q'=\Delta T/R_{\mathrm{tot}}, maximizar q' é equivalente a minimizar R_{\mathrm{tot}}. Portanto o ponto crítico satisfaz \frac{dR_{\mathrm{tot}}}{dr_{o}}=0.

Passo 5

Calcule a derivada de R_{\mathrm{tot}}(r_{o}) em relação a r_{o}.
  • Escrevemos novamente a resistência total para facilitar a diferenciação: R_{\mathrm{tot}}(r_{o})=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_{o}}{r_{i}}\right)+\frac{1}{2\pi r_{o}L h}.
  • Derivando termo a termo (lembrando que r_{i}, k, h, L são constantes): \frac{dR_{\mathrm{tot}}}{dr_{o}}=\frac{1}{2\pi k L}\cdot\frac{1}{r_{o}}-\frac{1}{2\pi L h}\cdot\frac{1}{r_{o}^{2}}.Explicação das derivadas:
    • \dfrac{d}{dr_{o}}\ln(r_{o}/r_{i})=\dfrac{1}{r_{o}},
    • \dfrac{d}{dr_{o}}\left(\dfrac{1}{r_{o}}\right)=-\dfrac{1}{r_{o}^{2}}.

Passo 6

Achar o ponto onde a derivada é zero e isolar r_{o} (o raio crítico).
  • Igualando a derivada a zero: \frac{1}{2\pi k L}\cdot\frac{1}{r_{o}}-\frac{1}{2\pi L h}\cdot\frac{1}{r_{o}^{2}}=0.
  • Multiplicando ambos os lados por 2\pi L r_{o}^{2} para simplificar: \frac{r_{o}}{k}-\frac{1}{h}=0.
  • Isolando r_{o}: r_{o}=\frac{k}{h}.
  • Portanto o raio crítico é r_{\mathrm{cr}}=\frac{k}{h}.Comentário didático: essa expressão é simples e bonita — ela mostra explicitamente o balanço entre a condutividade do isolamento ( k) e a intensidade da convecção externa ( h). Quando k aumenta (isolante ruim), o r_{\mathrm{cr}} aumenta; quando h aumenta (convecção forte), r_{\mathrm{cr}} diminui.

Passo 7

Calcule o valor numérico com os dados fornecidos.
  • Usando k=0{,}055\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK} e h=5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m^{2}K}: r_{\mathrm{cr}}=\frac{k}{h}=\frac{0{,}055}{5}=0{,}011\\ \text{m}.

Passo 8

Interpretação e discussão prática (responda a parte (b) claramente e com números).
  • Comparando com o raio inicial do tubo: r_{i}=0{,}005\\ \text{m} < r_{\mathrm{cr}}=0{,}011\\ \text{m}.
  • Consequência prática:
    • Se o raio externo atual do sistema (sem isolamento adicional) é r_{o}=r_{i}=0{,}005\\ \text{m}, então adicionar uma pequena camada de isolamento que aumente r_{o} mas mantenha r_{o}<r_{\mathrm{cr}} fará com que a resistência total diminua e, portanto, a perda de calor aumente — ou seja, inicialmente o isolamento pode piorar a situação térmica (aumenta a troca de calor com o ambiente).
    • Só quando o isolamento for suficientemente espesso de modo que o novo r_{o} exceda r_{\mathrm{cr}}=0{,}011\\ \text{m} é que a adição de mais isolamento começará a reduzir a perda de calor.
  • Intuição física curta: para pequenos r_{o} a área externa cresce rápido e a convecção “se beneficia” desse aumento de área mais do que a condução é prejudicada pela espessura extra; depois de r_{\mathrm{cr}} a condução adicional vence e o isolamento passa a ser eficaz.
  • Em termos práticos: se você for isolar esse tubo, não adianta colocar só uma camada fininha — ou a camada deve ser suficiente para que o raio final ultrapasse 0{,}011\\ \text{m}, ou então você pode até piorar a perda de calor. Para referência, o raio inicial 0{,}005\\ \text{m} precisa ser aumentado em pelo menos 0{,}006\\ \text{m} (espessura de isolamento) para atingir o raio crítico.

Resposta

r_{\mathrm{cr}}=\dfrac{k}{h}
r_{\mathrm{cr}}=0{,}011\\ \text{m}
Se r_{o}<r_{\mathrm{cr}} (como aqui, r_{i}=0{,}005\\ \text{m}<r_{\mathrm{cr}}), adicionar isolamento com espessura pequena aumenta a perda de calor; apenas para r_{o}>r_{\mathrm{cr}} a adição de isolamento diminui a perda de calor.

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