Um tubo de diâmetro externo
transporta fluido mais frio que o ar ambiente. O isolamento tem condutividade
e o coeficiente de convecção externo é
. a) Derive o raio crítico
. b) Calcule seu valor e discuta se adicionar isolamento além desse raio aumenta ou diminui a perda de calor. (Resposta:
)
Passo 1
Aqui está o que o enunciado nos dá e o que pede, bem organizadinho para não ter confusão na hora da prova.
-
Dados fornecidos:(diâmetro externo do tubo). Portanto o raio externo do tubo (raio inicial, antes do isolamento) éA condutividade do isolamento ée o coeficiente de convecção externo é
-
O que o enunciado pede:
(a) derivar a expressão do raio crítico;
(b) calcular seu valor numérico com os dados e discutir se adicionar isolamento além desse raio aumenta ou diminui a perda de calor.
Passo 2
Conceito físico e estratégia (sem resolver ainda): por que existe um “raio crítico”?
- O calor atravessa primeiro o isolamento por condução (do tubo para a superfície externa do isolamento) e depois é transferido para o ar por convecção na superfície externa.
- Para uma geometria cilíndrica, aumentar o raio externo
faz duas coisas opostas: - Aumenta a espessura do isolamento, aumentando a resistência à condução (o que tende a reduzir a perda de calor).
- Aumenta a área externa de convecção
, reduzindo a resistência de convecção (o que tende a aumentar a perda de calor).
- O raio crítico é o ponto onde esses dois efeitos se equilibram: pequenas camadas de isolamento até
podem na verdade aumentar a perda de calor; só além de o isolamento passa a reduzir a perda de calor. Para encontrar vamos escrever a resistência térmica total (por unidade de comprimento) e achar o ponto em que a variação da resistência com muda de sinal.
Passo 3
Expressão da resistência térmica total por unidade de comprimento (tomamos comprimento
, mas depois trabalhamos por unidade de comprimento, então
cancela nos passos importantes).
-
Resistência por condução radial no isolamento (entre
e ) por unidade de comprimento: Explicação didática de onde vem essa fórmula: em regime estacionário o fluxo térmico por unidade de comprimento(W/m) na direção radial satisfaz Rearranjando e integrando dea obtemos que leva a. Assim, resistência é a razão e resulta na fórmula acima. Aqui: -
é a condutividade térmica do isolamento ( ), -
é o comprimento considerado (m), -
e são os raios interno e externo do isolamento (m).
-
-
Resistência por convecção na superfície externa (raio
) por unidade de comprimento: Explicação: resistência convectiva écom . -
Resistência térmica total por unidade de comprimento:
Passo 4
Relação com a taxa de calor e critério do raio crítico.
- Para uma diferença de temperatura fixa entre o fluido e o ar ambiente,
, a taxa de calor por unidade de comprimento é - O raio crítico é o valor de
que torna a adição infinitesimal de isolamento indiferente em termos de perda de calor; matematicamente isso corresponde a um extremo de em função de . Como , maximizar é equivalente a minimizar . Portanto o ponto crítico satisfaz
Passo 5
Calcule a derivada de
em relação a
.
- Escrevemos novamente a resistência total para facilitar a diferenciação:
- Derivando termo a termo (lembrando que
, , , são constantes): Explicação das derivadas: -
, -
.
-
Passo 6
Achar o ponto onde a derivada é zero e isolar
(o raio crítico).
- Igualando a derivada a zero:
- Multiplicando ambos os lados por
para simplificar: - Isolando
: - Portanto o raio crítico é
Comentário didático: essa expressão é simples e bonita — ela mostra explicitamente o balanço entre a condutividade do isolamento ( ) e a intensidade da convecção externa ( ). Quando aumenta (isolante ruim), o aumenta; quando aumenta (convecção forte), diminui.
Passo 7
Calcule o valor numérico com os dados fornecidos.
- Usando
e :
Passo 8
Interpretação e discussão prática (responda a parte (b) claramente e com números).
- Comparando com o raio inicial do tubo:
- Consequência prática:
- Se o raio externo atual do sistema (sem isolamento adicional) é
, então adicionar uma pequena camada de isolamento que aumente mas mantenha fará com que a resistência total diminua e, portanto, a perda de calor aumente — ou seja, inicialmente o isolamento pode piorar a situação térmica (aumenta a troca de calor com o ambiente). - Só quando o isolamento for suficientemente espesso de modo que o novo
exceda é que a adição de mais isolamento começará a reduzir a perda de calor.
- Se o raio externo atual do sistema (sem isolamento adicional) é
- Intuição física curta: para pequenos
a área externa cresce rápido e a convecção “se beneficia” desse aumento de área mais do que a condução é prejudicada pela espessura extra; depois de a condução adicional vence e o isolamento passa a ser eficaz. - Em termos práticos: se você for isolar esse tubo, não adianta colocar só uma camada fininha — ou a camada deve ser suficiente para que o raio final ultrapasse
, ou então você pode até piorar a perda de calor. Para referência, o raio inicial precisa ser aumentado em pelo menos (espessura de isolamento) para atingir o raio crítico.
Resposta
Se