Um corpo está suspenso numa balança de mola num navio que viaja ao longo do equador com velocidade
. (a) Mostre que a leitura da balança será muito próxima de
, onde
é a velocidade angular da Terra e
é a leitura da balança, quando o navio está em repouso. (b) Explique o sinal de mais ou menos.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
- Um corpo de massa
está suspenso numa balança de mola num navio que viaja ao longo do equador com velocidade (medida em relação à superfície da Terra). - A Terra gira com velocidade angular
. -
é a leitura da balança quando o navio (e o corpo) estão em repouso em relação à superfície da Terra (isto é, apenas a rotação da Terra está presente).
O enunciado pede:
(a) mostrar que a leitura da balança será muito próxima de ;
(b) explicar o significado do sinal ou
.
(a) mostrar que a leitura da balança será muito próxima de
(b) explicar o significado do sinal
Nada mais será assumido; começo montando o modelo físico e depois faço as aproximações.
Passo 2
Entendendo o movimento e a aceleração centrípeta necessária.
- Uma massa na linha do equador descreve (aproximadamente) um movimento circular em torno do eixo da Terra de raio
(raio da Terra). - Se o corpo estiver parado sobre a superfície, sua velocidade tangencial no referencial inercial é
. A aceleração centrípeta necessária para esse movimento é
- Se o navio se desloca ao longo do equador com velocidade
em relação à superfície, a velocidade tangencial do corpo, medida no referencial inercial, fica . O sinal corresponde a um deslocamento no mesmo sentido da rotação da Terra (leste), e o sinal ao sentido oposto (oeste). A aceleração centrípeta necessária então é
Explicação curtinha da fórmula: para movimento circular de raio
e velocidade tangencial
, a aceleração centrípeta é
. Aqui
.
Passo 3
Expandindo a expressão da aceleração centrípeta quando o navio se move:
Interpretação dos termos:
é a contribuição da rotação da Terra,
é o efeito de primeira ordem devido ao movimento do navio, e
é um termo de segunda ordem (pequeno para velocidades típicas de navio).
Passo 4
Forças verticais e leitura da balança.
- No eixo radial (direção centro da Terra), as forças são o peso
apontando para dentro (centro da Terra) e a força de reação da balança apontando para fora (oposta ao peso). - Para que a massa descreva a trajetória circular é preciso que a força resultante para dentro seja
. Tomando para dentro como positivo:
- Assim a leitura da balança (força para fora que a balança registra) é
Comentário didático: a balança mede a força normal
; quando a centrípeta exigida aumenta,
diminui (porque parte do peso é “gasto” para fornecer a aceleração centrípeta).
Passo 5
Escrever
usando a expressão expandida de
. Substituindo:
Aqui usei o fato de que o termo
aparece com sinal oposto em
(porque
). Observe que a leitura no caso de repouso relativamente à superfície é
portanto
Passo 6
Fazer as aproximações para obter a forma pedida
. Duas simplificações justificadas:
-
O termo
é muito pequeno comparado ao termo quando é muito menor que . Para ter uma ideia numérica: na linha do equador é cerca de ; para um navio típico é da ordem de a , então é desprezível diante de . Logo desprezamos . -
e a correção é pequena frente a (numa ordem de contra ). Assim, ao dividir por podemos aproximar no denominador de uma correção relativa de primeira ordem. Começando de
dividindo por
e usando
obtemos
Trocando o sinal da notação (o enunciado escreve
em vez de
) obtemos a forma requerida:
onde o
ou
ficará esclarecido no passo seguinte.
Observação didática: esta é uma expansão de primeira ordem em
; termos de ordem
foram desprezados.
Passo 7
Interpretação física do sinal (resposta da parte (b)).
- Se o navio se move no mesmo sentido da rotação da Terra (leste), a velocidade tangencial no referencial inercial aumenta para
. Isso aumenta a aceleração centrípeta exigida; para fornecer essa aceleração a balança precisa exercer menos força para fora, então a leitura diminui. Portanto o sinal é para movimento leste (leitura menor que ). - Se o navio se move no sentido oposto à rotação da Terra (oeste), a velocidade tangencial no referencial inercial diminui para
. A aceleração centrípeta exigida diminui e a balança tem que exercer maior força para equilibrar, então a leitura aumenta. Portanto o sinal é para movimento oeste (leitura maior que ).
Resumo físico: mover-se na mesma direção da rotação aumenta a velocidade total em relação ao espaço inercial → maior necessidade de aceleração centrípeta → normal menor; mover-se na direção oposta faz o contrário.
Passo 8
Breve avaliação da ordem de grandeza (motivacional): a correção relativa é
. Como
, para
a alteração relativa é
— minúscula, mas mensurável com instrumentos precisos.
Resposta
(a)
(b) O sinal corresponde ao navio movendo-se para o oeste (sentido oposto à rotação da Terra, leitura aumenta); o sinal
corresponde ao navio movendo-se para o leste (mesmo sentido da rotação, leitura diminui).
(b) O sinal