Um corpo está suspenso numa balança de mola num navio que viaja ao longo do equador com velocidade v. (a) Mostre que a leitura da balança será muito próxima de W_{0}(1 \pm 2 \omega \nu / g), onde \omega é a velocidade angular da Terra e W_{0} é a leitura da balança, quando o navio está em repouso. (b) Explique o sinal de mais ou menos.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
  • Um corpo de massa m está suspenso numa balança de mola num navio que viaja ao longo do equador com velocidade v (medida em relação à superfície da Terra).
  • A Terra gira com velocidade angular \omega.
  • W_{0} é a leitura da balança quando o navio (e o corpo) estão em repouso em relação à superfície da Terra (isto é, apenas a rotação da Terra está presente).
O enunciado pede:
(a) mostrar que a leitura da balança será muito próxima de \;W_{0}\bigl(1\pm 2\omega v/g\bigr);
(b) explicar o significado do sinal + ou -.
Nada mais será assumido; começo montando o modelo físico e depois faço as aproximações.

Passo 2

Entendendo o movimento e a aceleração centrípeta necessária.
  • Uma massa na linha do equador descreve (aproximadamente) um movimento circular em torno do eixo da Terra de raio R (raio da Terra).
  • Se o corpo estiver parado sobre a superfície, sua velocidade tangencial no referencial inercial é \omega R. A aceleração centrípeta necessária para esse movimento é
a_{c0}=\frac{(\omega R)^2}{R}=\omega^2 R.
  • Se o navio se desloca ao longo do equador com velocidade v em relação à superfície, a velocidade tangencial do corpo, medida no referencial inercial, fica \omega R\pm v. O sinal + corresponde a um deslocamento no mesmo sentido da rotação da Terra (leste), e o sinal - ao sentido oposto (oeste). A aceleração centrípeta necessária então é
a_c=\frac{(\omega R\pm v)^2}{R}.
Explicação curtinha da fórmula: para movimento circular de raio R e velocidade tangencial u, a aceleração centrípeta é u^2/R. Aqui u=\omega R\pm v.

Passo 3

Expandindo a expressão da aceleração centrípeta quando o navio se move:
a_c=\frac{(\omega R\pm v)^2}{R}=\frac{\omega^2 R^2 \pm 2\omega R v + v^2}{R}=\omega^2 R \pm 2\omega v + \frac{v^2}{R}.
Interpretação dos termos: \omega^2 R é a contribuição da rotação da Terra, 2\omega v é o efeito de primeira ordem devido ao movimento do navio, e v^2/R é um termo de segunda ordem (pequeno para velocidades típicas de navio).

Passo 4

Forças verticais e leitura da balança.
  • No eixo radial (direção centro da Terra), as forças são o peso mg apontando para dentro (centro da Terra) e a força de reação da balança N apontando para fora (oposta ao peso).
  • Para que a massa descreva a trajetória circular é preciso que a força resultante para dentro seja m a_c. Tomando para dentro como positivo:
mg - N = m a_c.
  • Assim a leitura da balança (força para fora que a balança registra) é
N = mg - m a_c.
Comentário didático: a balança mede a força normal N; quando a centrípeta exigida aumenta, N diminui (porque parte do peso é “gasto” para fornecer a aceleração centrípeta).

Passo 5

Escrever N usando a expressão expandida de a_c. Substituindo:
N = m\bigl(g - (\omega^2 R \pm 2\omega v + v^2/R)\bigr) = m(g-\omega^2 R)\mp m(2\omega v) - m\frac{v^2}{R}.
Aqui usei o fato de que o termo \pm 2\omega v aparece com sinal oposto em N (porque N=mg-m a_c). Observe que a leitura no caso de repouso relativamente à superfície é
W_{0}=m(g-\omega^2 R),
portanto
N = W_{0} \mp m(2\omega v) - m\frac{v^2}{R}.

Passo 6

Fazer as aproximações para obter a forma pedida \;W_{0}\bigl(1\pm 2\omega v/g\bigr). Duas simplificações justificadas:
  1. O termo v^2/R é muito pequeno comparado ao termo 2\omega v quando v é muito menor que \omega R. Para ter uma ideia numérica: \omega R na linha do equador é cerca de 465\\ \text{m/s}; para um navio típico v é da ordem de 10 a 100\\ \text{m/s}, então v^2/R é desprezível diante de 2\omega v. Logo desprezamos m v^2/R.
  2. W_{0}=m(g-\omega^2 R) e a correção \omega^2 R é pequena frente a g (numa ordem de 0,03\\ \text{m/s}^2 contra g\approx 9{,}8\\ \text{m/s}^2). Assim, ao dividir por W_{0} podemos aproximar W_{0}\approx m g no denominador de uma correção relativa de primeira ordem. Começando de
N \approx W_{0} \mp m(2\omega v),
dividindo por W_{0} e usando W_{0}\approx m g obtemos
N \approx W_{0}\Bigl(1 \mp \frac{2\omega v}{g}\Bigr).
Trocando o sinal da notação (o enunciado escreve \pm em vez de \mp) obtemos a forma requerida:
N \approx W_{0}\Bigl(1 \pm \frac{2\omega v}{g}\Bigr),
onde o + ou - ficará esclarecido no passo seguinte.
Observação didática: esta é uma expansão de primeira ordem em v; termos de ordem v^2 foram desprezados.

Passo 7

Interpretação física do sinal (resposta da parte (b)).
  • Se o navio se move no mesmo sentido da rotação da Terra (leste), a velocidade tangencial no referencial inercial aumenta para \omega R+v. Isso aumenta a aceleração centrípeta exigida; para fornecer essa aceleração a balança precisa exercer menos força para fora, então a leitura diminui. Portanto o sinal é - para movimento leste (leitura menor que W_{0}).
  • Se o navio se move no sentido oposto à rotação da Terra (oeste), a velocidade tangencial no referencial inercial diminui para \omega R-v. A aceleração centrípeta exigida diminui e a balança tem que exercer maior força para equilibrar, então a leitura aumenta. Portanto o sinal é + para movimento oeste (leitura maior que W_{0}).
Resumo físico: mover-se na mesma direção da rotação aumenta a velocidade total em relação ao espaço inercial → maior necessidade de aceleração centrípeta → normal menor; mover-se na direção oposta faz o contrário.

Passo 8

Breve avaliação da ordem de grandeza (motivacional): a correção relativa é \sim 2\omega v/g. Como \omega\approx 7{,}29\times10^{-5}\\ \text{s}^{-1}, para v=10\\ \text{m/s} a alteração relativa é \approx 1{,}5\times10^{-4} — minúscula, mas mensurável com instrumentos precisos.

Resposta

(a) \;W \approx W_{0}\Bigl(1 \pm \dfrac{2\omega v}{g}\Bigr)
(b) O sinal + corresponde ao navio movendo-se para o oeste (sentido oposto à rotação da Terra, leitura aumenta); o sinal - corresponde ao navio movendo-se para o leste (mesmo sentido da rotação, leitura diminui).

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