Um cientista está medindo g. com precisão, num certo ponto do Oceano Índico (sobre o equador), observando as oscilações de um pêndulo construído com exatidão. Para diminuir os efeitos de possíveis perturbações, as medidas são feitas num submarino submerso. O cientista observa uma pequena diferença nos valores de g, dependendo do submarino estar se movendo para leste ou oeste. Em ambos os casos, a velocidade do submarino é de 16 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Explique esta diferença e calcule o erro fracional \Delta g / g, para ambas as direções do movimento do submarino.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais informações temos:
  • O enunciado pede para explicar por que há diferença no valor medido de g quando o submarino se move para leste ou para oeste, e calcular o erro fracional \Delta g/g para cada direção.
  • Dados fornecidos: a velocidade do submarino é v=16\\ \mathrm{km/h} (para leste ou para oeste), a medição é feita sobre o equador e o pêndulo é perfeitamente construído.
  • Valores físicos que vou usar (números usuais): raio da Terra R\approx 6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m} e velocidade angular de rotação da Terra \Omega\approx 7{,}292115\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Observação: como a medição está no equador, o efeito centrífugo da rotação terrestre atua radialmente para fora e modifica o valor efetivo de g; ao mover-se para leste/oeste a velocidade tangencial muda e, portanto, muda o termo centrífugo.

Passo 2

Conceito físico e fórmula inicial (aula rápida):
  • O que o pêndulo mede é a aceleração efetiva dirigida para baixo, que é a soma vetorial da atração gravitacional real (chamarei de g_{\rm grav}) e das acelerações inerciais (principalmente a aceleração centrífuga devido ao movimento circular em torno do eixo da Terra).
  • Para um movimento circular de raio R com velocidade angular \omega (no referencial inercial), a aceleração centrífuga radial para fora tem módulo \omega^{2}R.
  • No caso de um ponto fixo na superfície que gira com a Terra, a velocidade angular é \Omega e a componente centrífuga é \Omega^{2}R. Definindo g_{0} como a gravidade efetiva para um observador fixo na superfície ( g_{0}=g_{\rm grav}-\Omega^{2}R), as medidas do pêndulo em repouso dão g_{0}.
  • Se o submarino se move para leste com velocidade tangencial v (medida relativa à superfície), no referencial inercial sua velocidade angular em torno do eixo é \omega=\Omega+\dfrac{v}{R}. Se o submarino se move para oeste com a mesma rapidez, \omega=\Omega-\dfrac{v}{R}.

Passo 3

Expressões algébricas para g medido quando o submarino se move:
  • A aceleração centrífuga para um movimento com velocidade angular \omega é \omega^{2}R. Portanto a gravidade efetiva medida é
g_{\rm eff}=g_{\rm grav}-\omega^{2}R.
  • Para o submarino em repouso com a Terra (referência), \omega=\Omega e g_{0}=g_{\rm grav}-\Omega^{2}R.
  • Para movimento para leste ( v>0), \omega=\Omega+\dfrac{v}{R}, então
g_{\rm east}=g_{\rm grav}-\Bigl(\Omega+\frac{v}{R}\Bigr)^{2}R = g_{0}-\Bigl(2\Omega v+\frac{v^{2}}{R}\Bigr).
Logo a variação em relação a repouso é
\Delta g_{\rm east}=g_{\rm east}-g_{0}= -\Bigl(2\Omega v+\frac{v^{2}}{R}\Bigr).
  • Para movimento para oeste ( v>0 em módulo, mas direção oposta), \omega=\Omega-\dfrac{v}{R}, então
g_{\rm west}=g_{\rm grav}-\Bigl(\Omega-\frac{v}{R}\Bigr)^{2}R = g_{0}+\Bigl(2\Omega v-\frac{v^{2}}{R}\Bigr),
e
\Delta g_{\rm west}=g_{\rm west}-g_{0}= +\Bigl(2\Omega v-\frac{v^{2}}{R}\Bigr).
  • Interpretação simples (sem jargão técnico pesado): mover-se para leste aumenta a velocidade tangencial total em relação ao espaço inercial, aumentando o efeito centrífugo (mais “empurra para fora”) e reduzindo g; mover-se para oeste diminui a velocidade tangencial total e, portanto, reduz o centrífugo, aumentando g.

Passo 4

Aproximação linear (quando faz sentido):
  • Para velocidades comuns de submarino v muito menores que \Omega R, o termo \dfrac{v^{2}}{R} é muito menor que 2\Omega v. Então, to primeiro ordem em v,
\Delta g \approx \mp 2\Omega v,
sendo o sinal negativo para leste e positivo para oeste. Mas vou calcular exatamente incluindo o v^{2}/R para precisão.

Passo 5

Conversão de unidades e cálculo numérico passo a passo:
  • Converter v=16\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
v = 16\\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 16\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 4{,}444444\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular 2\Omega v:
2\Omega v = 2\cdot(7{,}292115\times10^{-5})\cdot 4{,}444444 \approx 6{,}482\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Calcular v^{2}/R:
\frac{v^{2}}{R} = \frac{(4{,}444444)^{2}}{6{,}371\times10^{6}}\approx 3{,}10\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Portanto,
\Delta g_{\rm east}= -\Bigl(2\Omega v+\frac{v^{2}}{R}\Bigr)\approx -(6{,}482\times10^{-4}+3{,}10\times10^{-6})\approx -6{,}513\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
\Delta g_{\rm west}= +\Bigl(2\Omega v-\frac{v^{2}}{R}\Bigr)\approx +(6{,}482\times10^{-4}-3{,}10\times10^{-6})\approx +6{,}451\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Para obter o erro fracional \Delta g/g uso g_{0} (gravidade efetiva no equador) aproximadamente g_{0}\approx 9{,}780\\ \mathrm{m/s^{2}}. Então:
\frac{\Delta g_{\rm east}}{g_{0}}\approx \frac{-6{,}513\times10^{-4}}{9{,}780}\approx -6{,}66\times10^{-5},
\frac{\Delta g_{\rm west}}{g_{0}}\approx \frac{+6{,}451\times10^{-4}}{9{,}780}\approx +6{,}60\times10^{-5}.
  • Observação numérica prática: o termo v^{2}/R é pequeno em comparação a 2\Omega v, por isso os valores numéricos para leste e oeste são quase simétricos em módulo; se desprezarmos v^{2}/R teríamos |\Delta g/g|\approx 2\Omega v/g\approx 6{,}63\times10^{-5}.

Passo 6

Resumo físico e dica para prova (como usar isso na hora):
  • Resposta física curta: mover-se para leste aumenta a velocidade angular em relação ao espaço e aumenta o efeito centrífugo, diminuindo o g medido; mover-se para oeste diminui a velocidade angular e, portanto, diminui o centrífugo, aumentando o g medido.
  • Fórmula-chave que vale memorizar para problemas assim (no equador):
\Delta g_{\rm east} = -\Bigl(2\Omega v+\frac{v^{2}}{R}\Bigr),\qquad \Delta g_{\rm west} = +\Bigl(2\Omega v-\frac{v^{2}}{R}\Bigr).
  • Na prova: converta v para \mathrm{m/s}, insira \Omega e R, calcule \Delta g e então divida por g para obter \Delta g/g. Se o tempo estiver curto, use a aproximação \Delta g\approx \mp 2\Omega v.

Resposta

\dfrac{\Delta g_{\rm east}}{g}\approx -6{,}66\times10^{-5}
\dfrac{\Delta g_{\rm west}}{g}\approx +6{,}60\times10^{-5}

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