Um cientista está medindo g. com precisão, num certo ponto do Oceano Índico (sobre o equador), observando as oscilações de um pêndulo construído com exatidão. Para diminuir os efeitos de possíveis perturbações, as medidas são feitas num submarino submerso. O cientista observa uma pequena diferença nos valores de
, dependendo do submarino estar se movendo para leste ou oeste. Em ambos os casos, a velocidade do submarino é de
. Explique esta diferença e calcule o erro fracional
, para ambas as direções do movimento do submarino.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais informações temos:
- O enunciado pede para explicar por que há diferença no valor medido de
quando o submarino se move para leste ou para oeste, e calcular o erro fracional para cada direção. - Dados fornecidos: a velocidade do submarino é
(para leste ou para oeste), a medição é feita sobre o equador e o pêndulo é perfeitamente construído. - Valores físicos que vou usar (números usuais): raio da Terra
e velocidade angular de rotação da Terra . - Observação: como a medição está no equador, o efeito centrífugo da rotação terrestre atua radialmente para fora e modifica o valor efetivo de
; ao mover-se para leste/oeste a velocidade tangencial muda e, portanto, muda o termo centrífugo.
Passo 2
Conceito físico e fórmula inicial (aula rápida):
- O que o pêndulo mede é a aceleração efetiva dirigida para baixo, que é a soma vetorial da atração gravitacional real (chamarei de
) e das acelerações inerciais (principalmente a aceleração centrífuga devido ao movimento circular em torno do eixo da Terra). - Para um movimento circular de raio
com velocidade angular (no referencial inercial), a aceleração centrífuga radial para fora tem módulo . - No caso de um ponto fixo na superfície que gira com a Terra, a velocidade angular é
e a componente centrífuga é . Definindo como a gravidade efetiva para um observador fixo na superfície ( ), as medidas do pêndulo em repouso dão . - Se o submarino se move para leste com velocidade tangencial
(medida relativa à superfície), no referencial inercial sua velocidade angular em torno do eixo é . Se o submarino se move para oeste com a mesma rapidez, .
Passo 3
Expressões algébricas para
medido quando o submarino se move:
- A aceleração centrífuga para um movimento com velocidade angular
é . Portanto a gravidade efetiva medida é
- Para o submarino em repouso com a Terra (referência),
e . - Para movimento para leste (
), , então
Logo a variação em relação a repouso é
- Para movimento para oeste (
em módulo, mas direção oposta), , então
e
- Interpretação simples (sem jargão técnico pesado): mover-se para leste aumenta a velocidade tangencial total em relação ao espaço inercial, aumentando o efeito centrífugo (mais “empurra para fora”) e reduzindo
; mover-se para oeste diminui a velocidade tangencial total e, portanto, reduz o centrífugo, aumentando .
Passo 4
Aproximação linear (quando faz sentido):
- Para velocidades comuns de submarino
muito menores que , o termo é muito menor que . Então, to primeiro ordem em ,
sendo o sinal negativo para leste e positivo para oeste. Mas vou calcular exatamente incluindo o
para precisão.
Passo 5
Conversão de unidades e cálculo numérico passo a passo:
- Converter
para :
- Calcular
:
- Calcular
:
- Portanto,
- Para obter o erro fracional
uso (gravidade efetiva no equador) aproximadamente . Então:
- Observação numérica prática: o termo
é pequeno em comparação a , por isso os valores numéricos para leste e oeste são quase simétricos em módulo; se desprezarmos teríamos .
Passo 6
Resumo físico e dica para prova (como usar isso na hora):
- Resposta física curta: mover-se para leste aumenta a velocidade angular em relação ao espaço e aumenta o efeito centrífugo, diminuindo o
medido; mover-se para oeste diminui a velocidade angular e, portanto, diminui o centrífugo, aumentando o medido. - Fórmula-chave que vale memorizar para problemas assim (no equador):
- Na prova: converta
para , insira e , calcule e então divida por para obter . Se o tempo estiver curto, use a aproximação .