Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar a esquina?
Resposta: (a^2 / 3+b^2 / 3)^3 / 2.

Passo 1

O enunciado considera dois corredores perpendiculares de larguras a e b. Queremos encontrar o maior comprimento L de uma barra que possa ser empurrada do primeiro corredor para o segundo sem encostar nas paredes. Para isso, vamos modelar a posição da barra por um ângulo theta e usar cálculo diferencial para minimizar sua extensão.

Passo 2

Considere a barra fazendo um ângulo theta com o eixo do corredor de largura a. Na parte dentro desse corredor, forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa L1 e cateto oposto de comprimento a, portanto
sintheta = aL1 Longrightarrow L1 = asintheta
No segundo corredor, de largura b, a projeção forma um triângulo onde
costheta = bL2 Longrightarrow L2 = bcostheta
Logo, o comprimento total da barra em função de theta é
L(theta) = L1 + L2 = asintheta + bcostheta

Passo 3

Para achar o mínimo de L(theta), calculamos a derivada
dLdtheta = -,acosthetasin^2theta + bsinthetacos^2theta
e igualamos a zero:
-,acosthetasin^2theta + bsinthetacos^2theta =0 Longrightarrow b,sin^3theta = a,cos^3theta
Dessa forma segue
tan^3theta = ab,
ou seja
tantheta = l(tfracabr)^1/3

Passo 4

Do valor de tantheta obtemos
sintheta = tanthetaraiz1+tan^2theta = (a/b)^1/3raiz1+(a/b)^2/3 = a^1/3(a^2/3+b^2/3)^1/2,
costheta = 1raiz1+tan^2theta = b^1/3(a^2/3+b^2/3)^1/2

Passo 5

Substituindo em L(theta):
Lmin = a1sintheta + b1costheta = a(a^2/3+b^2/3)^1/2a^1/3 + b(a^2/3+b^2/3)^1/2b^1/3
= (a^2/3+b^2/3)^1/2,l(a^2/3+b^2/3r) = l(a^2/3+b^2/3r)^3/2

Resposta

l(a^2/3 + b^2/3r)^3/2

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