Um corredor de largura
forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura
. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar a esquina?
Resposta:
.
Passo 1
O enunciado considera dois corredores perpendiculares de larguras
e
. Queremos encontrar o maior comprimento
de uma barra que possa ser empurrada do primeiro corredor para o segundo sem encostar nas paredes. Para isso, vamos modelar a posição da barra por um ângulo
e usar cálculo diferencial para minimizar sua extensão.
Passo 2
Considere a barra fazendo um ângulo
com o eixo do corredor de largura
. Na parte dentro desse corredor, forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa
e cateto oposto de comprimento
, portanto
No segundo corredor, de largura
, a projeção forma um triângulo onde
Logo, o comprimento total da barra em função de
é
Passo 3
Para achar o mínimo de
, calculamos a derivada
e igualamos a zero:
Dessa forma segue
ou seja
Passo 4
Do valor de
obtemos
Passo 5
Substituindo em
: