Lembre:
lim x x0 f(x)=L Long<=ftrightarrow(forall epsilon>0 existe de<a>0 tal que 0<|x-x0|<de<a Longrightarrow|f(x)-L|<epsilon).
Mostre que:
lim x 2(x^2-x+2)=4.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
limxto 2l(x^2-x+2r)=4
usando a definição epsilon–delta: para todo epsilon>0 devemos encontrar de<a>0 tal que
0<|x-2|<de<aLongrightarrowl|f(x)-4r|<epsilon,
onde f(x)=x^2-x+2.

Passo 2

Calculemos a diferença l|f(x)-4r|:
l|f(x)-4r| =l|x^2-x+2-4r| =l|x^2-x-2r| =l|(x-2)(x+1)r| =|x-2|;|x+1|

Passo 3

Precisamos controlar o fator |x+1| quando x está próximo de 2. Escolhendo
de<a1=1,
garantimos que se |x-2|<de<a1 então
1< x<3 Longrightarrow 2< x+1<4 Longrightarrow |x+1|<4

Passo 4

Com isso temos
l|f(x)-4r| =|x-2|;|x+1| <4,|x-2|
Para assegurar l|f(x)-4r|<epsilon, basta escolher de<a tal que
4,|x-2|<epsilon Longrightarrow |x-2|<epsilon4
Logo, definimos
de<a=min!l1,tfracepsilon4r
Então sempre que 0<|x-2|<de<a<=1 temos |x+1|<4 e também |x-2|<epsilon/4, de modo que
l|f(x)-4r|<4,|x-2|<4cdotepsilon4=epsilon

Resposta

Foi demonstrado pelo critério epsilon–delta que
limxto 2l(x^2-x+2r)=4

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