Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
x y(1+x y^2) y^prime=1, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x,yl(1 + x,y^2r),dydx = 1,
com a condição inicial y(1)=0.
Conteúdo: vamos inverter as variáveis (tratar x como função de y), transformar em equação de Riccati para x(y), depois fazer a substituição v=1/x para cair numa equação linear em v(y).

Passo 2

Escrevemos a equação trocando o papel de x e y. Como
dydx = 1x,yl(1 + x,y^2r),
invertemos para
dxdy = x,yl(1 + x,y^2r) = x,y + x^2,y^3
Isso dá a equação diferencial em x(y):
dxdy - y,x = y^3,x^2,
que é do tipo de Riccati.

Passo 3

Para resolver, usamos a substituição v(y)=tfrac1x(y). Então
dvdy = -1x^2,dxdy = -1x^2l(x,y + x^2,y^3r) = -,y,1x ;-; y^3 = -y,v ;-; y^3
Logo obtemos a equação linear
dvdy + y,v = -,y^3
O fator integrante é
mu(y)=exp!l(integral y,dyr)=exp!l(tfracy^22r)
Multiplicando por mu(y),
ddyl[v,e^y^2/2r] = -,y^3,e^y^2/2
Integramos em y:
v,e^y^2/2 = integral -y^3,e^y^2/2,dy = -2,e^y^2/2l(tfracy^22-1r) + C,
onde usamos a substituição t=y^2/2 para calcular a integral.

Passo 4

Isolando v e voltando a x=1/v,
v = -;2l(tfracy^22-1r) + C,e^-y^2/2 = -y^2 +2 + C,e^-y^2/2,
x(y)=1v = 1-y^2 +2 + C,e^-y^2/2
Usamos a condição y(1)=0, isto é, para y=0 deve dar x=1. Substituindo:
1 = 1-0 +2 + Ccdot e^0 ;Longrightarrow; 2 + C = 1 ;Longrightarrow; C = -1

Passo 5

Com C=-1, a relação implícita entre x e y fica
x = 1-y^2 +2 - e^-y^2/2 Long<=ftrightarrow -y^2 +2 - e^-y^2/2 = 1x
Podemos rearranjar para dar a forma final
y^2 + e^-y^2/2 = 2 - 1x

Resposta

A solução que satisfaz y(1)=0 é dada implicitamente por
boxedy^2 + e^-,y^2/2 = 2 - 1x

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