Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com a condição inicial
.
Conteúdo: vamos inverter as variáveis (tratar como função de
), transformar em equação de Riccati para
, depois fazer a substituição
para cair numa equação linear em
.
Conteúdo: vamos inverter as variáveis (tratar
Passo 2
Escrevemos a equação trocando o papel de
e
. Como
invertemos para
Isso dá a equação diferencial em
:
que é do tipo de Riccati.
Passo 3
Para resolver, usamos a substituição
. Então
Logo obtemos a equação linear
O fator integrante é
Multiplicando por
,
Integramos em
:
onde usamos a substituição
para calcular a integral.
Passo 4
Isolando
e voltando a
,
Usamos a condição
, isto é, para
deve dar
. Substituindo:
Passo 5
Com
, a relação implícita entre
e
fica
Podemos rearranjar para dar a forma final
Resposta
A solução que satisfaz
é dada implicitamente por