Q. 4(3,5). Determine os limites abaixo:
lim x 2 x^3-7 x^2+16 x-12x^3-12 x+16;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto 2x^3-7x^2+16x-12x^3-12x+16
Este é um problema de limite de uma função racional cujo numerador e denominador se anulam em x=2. Para resolver, vamos usar o Teorema do Resto (se um polinômio f satisfaz f(a)=0, então (x-a) é fator de f) e fazer divisão de polinômios para fatorar e cancelar o fator comum.

Passo 2

Verificamos primeiro o numerador
N(x)=x^3-7x^2+16x-12
Como N(2)=8-28+32-12=0, concluímos que (x-2) é fator de N(x). Dividindo N(x) por (x-2) (por exemplo, via esquema de Briot–Ruffini), obtemos o quociente
x^2-5x+6
e resto zero. Logo
N(x)=(x-2)(x^2-5x+6)=(x-2)(x-2)(x-3)=(x-2)^2(x-3)

Passo 3

Agora o denominador
D(x)=x^3-12x+16
Como D(2)=8-24+16=0, também (x-2) é fator de D(x). Dividindo D(x) por (x-2), o quociente é
x^2+2x-8
e resto zero. E esse quadrático fatora como
x^2+2x-8=(x+4)(x-2)
Portanto
D(x)=(x-2)(x+4)(x-2)=(x-2)^2(x+4)

Passo 4

Para xneq2, o quociente original simplifica-se a
N(x)D(x) =(x-2)^2(x-3)(x-2)^2(x+4) =x-3x+4
Assim, ao calcularmos o limite conforme xto2, basta substituir na forma simplificada:
limxto 2x-3x+4=2-32+4=-16

Resposta

-,16

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