- Um corredor treina em uma pista em forma de elipse, com equação
. Ele parte do ponto da curva de coordenadas
, no sentido horário. Após certo tempo, o ângulo formado pela direção positiva do eixo-
e pela reta que passa por ele e pela origem é de
radianos. Nesse instante, a distância do corredor ao eixo-
está aumentando a uma taxa de
. De quanto está variando a distância dele ao eixo-
?
Passo 1
O corredor se move ao longo da elipse
partindo de
no sentido horário. Em certo instante o ângulo
entre o eixo positivo
e a reta que une o corredor à origem vale
. Sabemos que, nesse instante, a distância ao eixo
(isto é,
) varia a
. Precisamos achar a variação da distância ao eixo
(ou seja,
). Para isso vamos (1) achar
nesse instante e (2) usar diferenciação implícita da equação da elipse.
Passo 2
A reta que faz ângulo
com o eixo
(girando no sentido horário) tem direção dada pelo vetor
. Todo ponto dessa reta pode ser escrito como
Impondo que
satisfaça a elipse,
Passo 3
Em
temos
, logo
Então
Passo 4
Diferenciando implicitamente
em relação ao tempo
, vem
Passo 5
Substituindo
e
,
Resposta
A distância ao eixo
está variando a
.