1. Um corredor treina em uma pista em forma de elipse, com equação x^216+y^29=1. Ele parte do ponto da curva de coordenadas (0,3), no sentido horário. Após certo tempo, o ângulo formado pela direção positiva do eixo- y e pela reta que passa por ele e pela origem é de pi4 radianos. Nesse instante, a distância do corredor ao eixo- y está aumentando a uma taxa de 16 m / s. De quanto está variando a distância dele ao eixo- x ?

Passo 1

O corredor se move ao longo da elipse
x^216 + y^29 = 1,
partindo de (0,3) no sentido horário. Em certo instante o ângulo theta entre o eixo positivo y e a reta que une o corredor à origem vale theta = pi4. Sabemos que, nesse instante, a distância ao eixo y (isto é, lvert xrvert) varia a dxdt = 16 m/s. Precisamos achar a variação da distância ao eixo x (ou seja, dydt). Para isso vamos (1) achar (x,y) nesse instante e (2) usar diferenciação implícita da equação da elipse.

Passo 2

A reta que faz ângulo theta com o eixo y (girando no sentido horário) tem direção dada pelo vetor (sintheta,costheta). Todo ponto dessa reta pode ser escrito como
(x,y) = tl(sintheta,costhetar)
Impondo que (x,y) satisfaça a elipse,
(tsintheta)^216 + (tcostheta)^29 = 1 Longrightarrow t^2!l(sin^2theta16 + cos^2theta9r)=1

Passo 3

Em theta=pi4 temos sin^2theta=cos^2theta=tfrac12, logo
t^2l(tfrac132+tfrac118r) = t^2,25288=1 Longrightarrow t = raiz28825=12raiz25
Então
x = tsintheta = 12raiz25cdotraiz22 = 125, y = tcostheta = 125

Passo 4

Diferenciando implicitamente
x^216 + y^29 = 1
em relação ao tempo t, vem
2x16,dxdt + 2y9,dydt = 0 Longrightarrow x8,dxdt + 2y9,dydt = 0
Longrightarrow dydt = -,x8,92y,dxdt = -,9x16y,dxdt

Passo 5

Substituindo x=y=tfrac125 e tfracdxdt=16,
dydt = -,9,(12/5)16,(12/5)cdot 16 = -,916cdot 16 = -9 m/s

Resposta

A distância ao eixo x está variando a -9 m/s.

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