1. O raio de uma esfera é de 20 cm . Estimar, através de diferenciais, o valor do volume com que fica a esfera ao aplicarmos uma camada de tinta de 0,1 cm.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera de raio inicial r=20 cm e queremos aplicar uma camada de tinta de espessura dr=0,1 cm. Para estimar o volume de tinta usamos diferenciais na função volume de uma esfera:
V(r)=43pi r^3

Passo 2

Calculamos a derivada de V em relação a r. Como
V(r)=43pi r^3,
temos
V'(r)=ddrl(tfrac43pi r^3r) =4pi r^2

Passo 3

A variação aproximada do volume é dada por
dV = V'(r),dr = 4pi r^2,dr

Passo 4

Substituindo r=20 cm e dr=0,1 cm na expressão acima, obtemos
dV = 4picdot 20^2cdot 0,1 = 160pi cm^3
Numericamente, isso equivale a aproximadamente 502,65 cm^3.

Resposta

O acréscimo aproximado de volume de tinta é
dV = 160pi cm^3 approx 502,65 cm^3.

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