Uma corredora e um ciclista disputam uma corrida, cada qual seguindo um caminho diferente. Considere comprimentos medidos em quilômetros e tempos em horas. A trajetória da corredora é descrita, no plano
, pelo vetor posição:
. O ciclista, por sua vez, toma outro caminho, descrito por:
. Após uma hora de disputa, a corrida termina empatada. Assinale a alternativa correta.
(a) Como empataram, ambos tiveram sempre a mesma velocidade vetorial instantânea. A velocidade angular do ciclista foi de
.
(b) Como empataram e a corredora desloca-se em uma trajetória semicircular, sua velocidade vetorial média foi maior em módulo do que a do ciclista. A velocidade angular do ciclista foi de
.
(c) Como empataram, ambos tiveram a mesma velocidade vetorial média. A velocidade angular do ciclista foi de
.
(d) Como empataram e a corredora desloca-se em linha reta, sua velocidade vetorial média foi maior em módulo do que a do ciclista. Avelocidade angular do ciclista foi de
.
(e) Como empataram, ambos tem a mesma velocidade vetorial média. A velocidade angular do ciclista foi de
.
(a) Como empataram, ambos tiveram sempre a mesma velocidade vetorial instantânea. A velocidade angular do ciclista foi de
(b) Como empataram e a corredora desloca-se em uma trajetória semicircular, sua velocidade vetorial média foi maior em módulo do que a do ciclista. A velocidade angular do ciclista foi de
(c) Como empataram, ambos tiveram a mesma velocidade vetorial média. A velocidade angular do ciclista foi de
(d) Como empataram e a corredora desloca-se em linha reta, sua velocidade vetorial média foi maior em módulo do que a do ciclista. Avelocidade angular do ciclista foi de
(e) Como empataram, ambos tem a mesma velocidade vetorial média. A velocidade angular do ciclista foi de
Passo 1
O enunciado nos dá as posições (em quilômetros) como funções do tempo (em horas):
- Corredora:
. - Ciclista:
.
O enunciado diz que, após uma hora (
), a corrida termina empatada. Pede-se assinalar a alternativa correta entre (a)–(e).
Informações/restrições relevantes extraídas do enunciado:
Informações/restrições relevantes extraídas do enunciado:
- Tempo final considerado:
. - As funções
e descrevem trajetórias no plano. - “Empataram” significa que, no instante
, a situação descrita pelas alternativas deve ser verdadeira (por exemplo: mesma posição final / mesmo tempo / mesma velocidade média — iremos interpretar corretamente abaixo).
Passo 2
Entender a corredora (dados e conceitos básicos).
- Posição inicial da corredora em
:
- Posição da corredora em
:
- Deslocamento da corredora no intervalo
:
- Velocidade vetorial média: definida por
. Para a corredora:
- Velocidade vetorial instantânea: derivada da posição. Aqui
constante no tempo, com módulo
.
Comentários didáticos rápidos: deslocamento é vetor que liga ponto inicial ao final; velocidade média é deslocamento dividido pelo tempo; velocidade instantânea é a derivada da posição e pode variar em direção e/ou módulo.
Passo 3
Entender o ciclista (posição final e condição de empate).
- Posição inicial do ciclista em
:
ou seja começa também em
. Observe que ambos começam no mesmo ponto.
- Posição do ciclista em
:
Para a corrida terminar empatada no instante
convém interpretar que ambos chegam ao mesmo ponto final naquele instante. A corredora está em
em
. Portanto exigimos:
Isto fornece a condição
Dividindo por
e igualando componentes:
Passo 4
Resolver a condição trigonométrica e interpretar.
- A equação
implica . -
e ocorrem quando
Isto significa que qualquer
da forma
(ou valores negativos correspondentes) leva o ciclista, em
, à posição
. Ou seja, existe uma família de valores que satisfazem a condição geométrica de empatar a posição final.
Didática sobre o círculo: a parametrização dada coloca o ciclista movendo-se em círculo de raio
centrado na origem; o ângulo efetivo percorrido em um tempo
é
. Em
a posição corresponde a ângulo
(ponto
). Em
a posição tem ângulo
(mais precisamente a parametrização usada coloca a abscissa como
, mas a condição levou a
como acima).
Passo 5
Comparar com as alternativas dadas e escolher qual valor usar.
- Das alternativas propostas, os valores de
oferecidos são , , , e . - Da família
os valores presentes na lista que satisfazem são (opção e) e (opção d). Ambas colocariam o ciclista em em . - Portanto, para decidir entre (d) e (e) precisamos verificar as outras afirmações de cada alternativa (por exemplo sobre velocidades médias e trajetórias).
Passo 6
Calcular velocidades médias e médias escalares (velocidade média vetorial versus velocidade média escalar).
- Já vimos que a corredora tem velocidade média vetorial
- Deslocamento do ciclista é o mesmo (começa em
e termina em ), então seu deslocamento vetorial é também. Logo a velocidade média vetorial do ciclista é
Conclusão importante: independentemente de
(contanto que leve o ciclista a
em
), as velocidades vetoriais médias dos dois são iguais. Isto responde a qualquer afirmação sobre igualdade de velocidade vetorial média: é verdadeira.
Didática: velocidade vetorial média depende só do deslocamento vetorial total, não do caminho seguido.
Passo 7
Comparar velocidades escalares médias (módulo da velocidade média ou “velocidade média” no sentido de distância percorrida sobre tempo).
- Velocidade escalar média (às vezes chamada apenas “velocidade média”) é distância total percorrida dividida por tempo. Para a corredora:
- Ela foi em linha reta de
a , distância km em h, então sua velocidade escalar média é .
- Ela foi em linha reta de
- Para o ciclista, o percurso é circular de raio
. O ângulo percorrido em é . Assim a distância percorrida é arco:
Logo a velocidade escalar média do ciclista é
- Se escolhermos
(opção e), obtemos
que é maior que
. Portanto, em módulo, a velocidade média escalar do ciclista é maior que a da corredora quando
.
- Se escolhermos
(opção d), a velocidade média escalar do ciclista seria , também maior que a da corredora. Assim qualquer dá velocidade escalar média do ciclista maior que .
Didática importante: “velocidade vetorial média” refere-se ao vetor deslocamento dividido por tempo; “velocidade escalar média” refere-se à distância total / tempo. São conceitos distintos e podem conduzir a comparações diferentes.
Passo 8
Verificação das afirmações das alternativas e conclusão final.
- (a) afirma que por empatarem ambos tiveram sempre a mesma velocidade vetorial instantânea — falso: a corredora tem velocidade instantânea constante
, o ciclista tem velocidade instantânea que varia em direção (movimento circular), portanto não são iguais em todo instante. - (b) afirma que a corredora desloca-se em uma trajetória semicircular — falso: a corredora se desloca em linha reta (veja
). Além disso o dado não satisfaz as condições. - (c) dá
e diz que as velocidades vetoriais médias são as mesmas — não leva o ciclista a em (logo não há empate de posições), então está incorreta. - (d) diz que a corredora desloca-se em linha reta (verdadeiro), mas afirma que a velocidade vetorial média da corredora foi maior em módulo do que a do ciclista — isso é falso: as velocidades vetoriais médias são iguais (ambas
). Além disso (d) escolhe — esse colocaria o ciclista em e, isoladamente, seria possível, mas a segunda parte da frase (comparação de módulos) está errada. - (e) afirma: “Como empataram, ambos têm a mesma velocidade vetorial média.” — isto é correto (igual deslocamento em mesmo tempo). E dá
— este valor pertence à família e leva o ciclista a em . Portanto (e) está correta.
Resposta
(e)