Uma corredora e um ciclista disputam uma corrida, cada qual seguindo um caminho diferente. Considere comprimentos medidos em quilômetros e tempos em horas. A trajetória da corredora é descrita, no plano x y, pelo vetor posição: \vec{r}_{1}(t)=(-5+10 t) \hat{i}. O ciclista, por sua vez, toma outro caminho, descrito por: \quad \vec{r}_{2}(t)=5[-\cos (\omega t) \hat{i}+\operatorname{sen}(\omega t) \hat{j}]. Após uma hora de disputa, a corrida termina empatada. Assinale a alternativa correta.
(a) Como empataram, ambos tiveram sempre a mesma velocidade vetorial instantânea. A velocidade angular do ciclista foi de \omega= 5 \pi / 2 \mathrm{rad} / \mathrm{h}.
(b) Como empataram e a corredora desloca-se em uma trajetória semicircular, sua velocidade vetorial média foi maior em módulo do que a do ciclista. A velocidade angular do ciclista foi de \omega=2 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{h}.
(c) Como empataram, ambos tiveram a mesma velocidade vetorial média. A velocidade angular do ciclista foi de \omega=4 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{h}.
(d) Como empataram e a corredora desloca-se em linha reta, sua velocidade vetorial média foi maior em módulo do que a do ciclista. Avelocidade angular do ciclista foi de \omega=3 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{h}.
(e) Como empataram, ambos tem a mesma velocidade vetorial média. A velocidade angular do ciclista foi de \omega=\pi \mathrm{rad} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado nos dá as posições (em quilômetros) como funções do tempo (em horas):
  • Corredora: \vec{r}_{1}(t)=(-5+10t)\,\hat{i}.
  • Ciclista: \vec{r}_{2}(t)=5\big[-\cos(\omega t)\,\hat{i}+\sin(\omega t)\,\hat{j}\big].
O enunciado diz que, após uma hora ( t=1\\ \mathrm{h}), a corrida termina empatada. Pede-se assinalar a alternativa correta entre (a)–(e).
Informações/restrições relevantes extraídas do enunciado:
  • Tempo final considerado: t=1\\ \mathrm{h}.
  • As funções \vec{r}_1(t) e \vec{r}_2(t) descrevem trajetórias no plano.
  • “Empataram” significa que, no instante t=1, a situação descrita pelas alternativas deve ser verdadeira (por exemplo: mesma posição final / mesmo tempo / mesma velocidade média — iremos interpretar corretamente abaixo).

Passo 2

Entender a corredora (dados e conceitos básicos).
  • Posição inicial da corredora em t=0:
\vec{r}_1(0)=(-5+10\cdot0)\,\hat{i} = -5\,\hat{i} \quad\text{(ou seja, }(-5,0)\text{)}.
  • Posição da corredora em t=1:
\vec{r}_1(1)=(-5+10\cdot1)\,\hat{i}=5\,\hat{i}\quad\text{(ou seja, }(5,0)\text{)}.
  • Deslocamento da corredora no intervalo [0,1]:
\Delta \vec{r}_1=\vec{r}_1(1)-\vec{r}_1(0)=5\,\hat{i}-(-5\,\hat{i})=10\,\hat{i}.
  • Velocidade vetorial média: definida por \displaystyle \overline{\vec{v}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}. Para a corredora:
\overline{\vec{v}}_1=\frac{10\,\hat{i}}{1}=10\,\hat{i}\quad(\text{km/h}).
  • Velocidade vetorial instantânea: derivada da posição. Aqui
\vec{v}_1(t)=\frac{d\vec{r}_1}{dt}=10\,\hat{i},
constante no tempo, com módulo |\vec{v}_1|=10\\ \mathrm{km/h}.
Comentários didáticos rápidos: deslocamento é vetor que liga ponto inicial ao final; velocidade média é deslocamento dividido pelo tempo; velocidade instantânea é a derivada da posição e pode variar em direção e/ou módulo.

Passo 3

Entender o ciclista (posição final e condição de empate).
  • Posição inicial do ciclista em t=0:
\vec{r}_2(0)=5\big[-\cos(0)\,\hat{i}+\sin(0)\,\hat{j}\big]=5[-1\,\hat{i}+0\,\hat{j}]=-5\,\hat{i},
ou seja começa também em (-5,0). Observe que ambos começam no mesmo ponto.
  • Posição do ciclista em t=1:
\vec{r}_2(1)=5\big[-\cos(\omega)\,\hat{i}+\sin(\omega)\,\hat{j}\big].
Para a corrida terminar empatada no instante t=1 convém interpretar que ambos chegam ao mesmo ponto final naquele instante. A corredora está em (5,0) em t=1. Portanto exigimos:
\vec{r}_2(1)=\vec{r}_1(1)=5\,\hat{i}.
Isto fornece a condição
5\big[-\cos(\omega)\,\hat{i}+\sin(\omega)\,\hat{j}\big]=5\,\hat{i}.
Dividindo por 5 e igualando componentes:
-\cos(\omega)=1,\qquad \sin(\omega)=0.

Passo 4

Resolver a condição trigonométrica e interpretar.
  • A equação -\cos(\omega)=1 implica \cos(\omega)=-1.
  • \cos(\omega)=-1 e \sin(\omega)=0 ocorrem quando
\omega = \pi + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isto significa que qualquer \omega da forma \pi,\,3\pi,\,5\pi,\dots (ou valores negativos correspondentes) leva o ciclista, em t=1, à posição (5,0). Ou seja, existe uma família de valores que satisfazem a condição geométrica de empatar a posição final.
Didática sobre o círculo: a parametrização dada coloca o ciclista movendo-se em círculo de raio 5 centrado na origem; o ângulo efetivo percorrido em um tempo t é \theta(t)=\omega t. Em t=0 a posição corresponde a ângulo \pi (ponto (-5,0)). Em t=1 a posição tem ângulo \omega (mais precisamente a parametrização usada coloca a abscissa como -\cos(\omega), mas a condição levou a \omega=\pi+2\pi k como acima).

Passo 5

Comparar com as alternativas dadas e escolher qual valor usar.
  • Das alternativas propostas, os valores de \omega oferecidos são \tfrac{5\pi}{2}, 2\pi, 4\pi, 3\pi e \pi.
  • Da família \omega=\pi+2\pi k os valores presentes na lista que satisfazem são \omega=\pi (opção e) e \omega=3\pi (opção d). Ambas colocariam o ciclista em (5,0) em t=1.
  • Portanto, para decidir entre (d) e (e) precisamos verificar as outras afirmações de cada alternativa (por exemplo sobre velocidades médias e trajetórias).

Passo 6

Calcular velocidades médias e médias escalares (velocidade média vetorial versus velocidade média escalar).
  • Já vimos que a corredora tem velocidade média vetorial
\overline{\vec{v}}_1=10\,\hat{i}\quad(\text{km/h}).
  • Deslocamento do ciclista é o mesmo (começa em (-5,0) e termina em (5,0)), então seu deslocamento vetorial é \Delta\vec{r}_2=10\,\hat{i} também. Logo a velocidade média vetorial do ciclista é
\overline{\vec{v}}_2=\frac{\Delta\vec{r}_2}{1}=10\,\hat{i}.
Conclusão importante: independentemente de \omega (contanto que leve o ciclista a (5,0) em t=1), as velocidades vetoriais médias dos dois são iguais. Isto responde a qualquer afirmação sobre igualdade de velocidade vetorial média: é verdadeira.
Didática: velocidade vetorial média depende só do deslocamento vetorial total, não do caminho seguido.

Passo 7

Comparar velocidades escalares médias (módulo da velocidade média ou “velocidade média” no sentido de distância percorrida sobre tempo).
  • Velocidade escalar média (às vezes chamada apenas “velocidade média”) é distância total percorrida dividida por tempo. Para a corredora:
    • Ela foi em linha reta de (-5,0) a (5,0), distância 10 km em 1 h, então sua velocidade escalar média é 10\\ \mathrm{km/h}.
  • Para o ciclista, o percurso é circular de raio 5. O ângulo percorrido em t=1 é \Delta\theta=\omega\cdot 1=\omega. Assim a distância percorrida é arco:
s_{\text{ciclista}}=r\Delta\theta=5\omega\quad(\text{km}).
Logo a velocidade escalar média do ciclista é
\overline{v}_{\text{ciclista}}=\frac{s_{\text{ciclista}}}{1}=5\omega\quad(\text{km/h}).
  • Se escolhermos \omega=\pi (opção e), obtemos
\overline{v}_{\text{ciclista}}=5\pi\approx 15{,}7\\ \mathrm{km/h},
que é maior que 10\\ \mathrm{km/h}. Portanto, em módulo, a velocidade média escalar do ciclista é maior que a da corredora quando \omega=\pi.
  • Se escolhermos \omega=3\pi (opção d), a velocidade média escalar do ciclista seria 5\cdot 3\pi=15\pi\approx47{,}1\\ \mathrm{km/h}, também maior que a da corredora. Assim qualquer \omega=\pi+2\pi k dá velocidade escalar média do ciclista maior que 10.
Didática importante: “velocidade vetorial média” refere-se ao vetor deslocamento dividido por tempo; “velocidade escalar média” refere-se à distância total / tempo. São conceitos distintos e podem conduzir a comparações diferentes.

Passo 8

Verificação das afirmações das alternativas e conclusão final.
  • (a) afirma que por empatarem ambos tiveram sempre a mesma velocidade vetorial instantânea — falso: a corredora tem velocidade instantânea constante 10\,\hat{i}, o ciclista tem velocidade instantânea que varia em direção (movimento circular), portanto não são iguais em todo instante.
  • (b) afirma que a corredora desloca-se em uma trajetória semicircular — falso: a corredora se desloca em linha reta (veja \vec{r}_1(t)). Além disso o \omega dado não satisfaz as condições.
  • (c) dá \omega=4\pi e diz que as velocidades vetoriais médias são as mesmas — \omega=4\pi não leva o ciclista a (5,0) em t=1 (logo não há empate de posições), então está incorreta.
  • (d) diz que a corredora desloca-se em linha reta (verdadeiro), mas afirma que a velocidade vetorial média da corredora foi maior em módulo do que a do ciclista — isso é falso: as velocidades vetoriais médias são iguais (ambas 10\,\hat{i}). Além disso (d) escolhe \omega=3\pi — esse \omega colocaria o ciclista em (5,0) e, isoladamente, seria possível, mas a segunda parte da frase (comparação de módulos) está errada.
  • (e) afirma: “Como empataram, ambos têm a mesma velocidade vetorial média.” — isto é correto (igual deslocamento em mesmo tempo). E dá \omega=\pi — este valor pertence à família \omega=\pi+2\pi k e leva o ciclista a (5,0) em t=1. Portanto (e) está correta.

Resposta

(e)

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