A posição de uma partícula que se movimenta em um plano horizontal é dada pela função horária:
\vec{r}(t)=\left(t^{2}-4 t+1\right) \hat{\imath}+\left(-t^{2}+4 t+2\right) \hat{\jmath}
onde t é o tempo em segundos, \vec{r}(t) é expresso em metros e os coeficientes numéricos possuem as unidades adequadas ( m / s^{2}, m / s e m, conforme o termo), as quais foram omitidas por simplicidade. Determine a velocidade média da partícula em \mathrm{m} / \mathrm{s} no intervalo de t=3 \mathrm{~s} a t=5 \mathrm{~s}.
(a) \vec{v}_{m}=(8 \hat{\imath}-8 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s}
(b) \vec{v}_{m}=(-8 \hat{\imath}+8 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s}
(c) \vec{v}_{m}=(4 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s}
(d) nenhuma das opções.
(e) \vec{v}_{m}=(4 \hat{\imath}+4 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de posição da partícula no plano, em função do tempo:
\vec{r}(t)=\bigl(t^{2}-4t+1\bigr)\hat{\imath}+\bigl(-t^{2}+4t+2\bigr)\hat{\jmath},
com t em segundos e \vec{r}(t) em metros. O que se pede é: determinar a velocidade média da partícula, em \mathrm{m}/\mathrm{s}, no intervalo de tempo de t=3\\ \mathrm{s} até t=5\\ \mathrm{s}.
As alternativas fornecidas são:
(a) \vec{v}_{m}=(8\hat{\imath}-8\hat{\jmath})\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(b) \vec{v}_{m}=(-8\hat{\imath}+8\hat{\jmath})\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(c) \vec{v}_{m}=(4\hat{\imath}-4\hat{\jmath})\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(d) nenhuma das opções
(e) \vec{v}_{m}=(4\hat{\imath}+4\hat{\jmath})\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 2

Definição e fórmula útil (aula curta): a velocidade média vetorial em um intervalo de tempo é o deslocamento vetorial dividido pelo intervalo de tempo. Em símbolos:
\vec{v}_{m}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t},
onde \Delta\vec{r}=\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1) é o vetor deslocamento entre os instantes t_1 e t_2, e \Delta t=t_2-t_1 é o intervalo de tempo. Explicando cada símbolo:
  • \vec{v}_{m} é a velocidade média (vetor), em \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • \vec{r}(t_1) e \vec{r}(t_2) são as posições (vetores) nos instantes inicial e final, em metros.
  • \Delta\vec{r} tem unidades de metros e representa quanto a posição mudou (com direção).
  • \Delta t tem unidades de segundos.
Aplicação prática: calcular separadamente as componentes x e y de \vec{r}(t), obter \Delta x e \Delta y, depois dividir por \Delta t para obter as componentes de \vec{v}_{m}.

Passo 3

Calcular \vec{r}(3) (posição em t=3\\ \mathrm{s}). Substituir t=3 em cada componente:
x(3)=3^{2}-4\cdot3+1=9-12+1=-2,
y(3)=-3^{2}+4\cdot3+2=-9+12+2=5.
Portanto
\vec{r}(3)=-2\hat{\imath}+5\hat{\jmath}\quad(\mathrm{m}).

Passo 4

Calcular \vec{r}(5) (posição em t=5\\ \mathrm{s}). Substituir t=5:
x(5)=5^{2}-4\cdot5+1=25-20+1=6,
y(5)=-5^{2}+4\cdot5+2=-25+20+2=-3.
Logo
\vec{r}(5)=6\hat{\imath}-3\hat{\jmath}\quad(\mathrm{m}).

Passo 5

Calcular o deslocamento \Delta\vec{r}=\vec{r}(5)-\vec{r}(3). Subtrair componente a componente:
\Delta x = x(5)-x(3)=6-(-2)=8,
\Delta y = y(5)-y(3)=-3-5=-8.
Então
\Delta\vec{r}=8\hat{\imath}-8\hat{\jmath}\quad(\mathrm{m}).

Passo 6

Calcular a velocidade média dividindo o deslocamento pelo intervalo de tempo \Delta t=5-3=2\\ \mathrm{s}:
\vec{v}_{m}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{8\hat{\imath}-8\hat{\jmath}}{2}=4\hat{\imath}-4\hat{\jmath}\quad(\mathrm{m}/\mathrm{s}).
Comentário amigável: saiu certinho — cada componente do deslocamento foi dividido por 2\\ \mathrm{s}, resultando em 4 e -4 respectivamente.

Passo 7

Comparar com as alternativas dadas: a velocidade média encontrada \vec{v}_{m}=4\hat{\imath}-4\hat{\jmath}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} corresponde exatamente à alternativa (c).

Resposta

(c) \vec{v}_{m}=(4\hat{\imath}-4\hat{\jmath})\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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