Uma corredora corre em linha reta, com uma velocidade média de módulo igual a 5,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} durante 4,00 \mathrm{~min}, e então com uma velocidade média de módulo 4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} durante 3,00 \mathrm{~min}.
(RA1) Represente o movimento através de um gráfico x(t).

Passo 1

O enunciado pede que eu represente o movimento por um gráfico x(t). As informações importantes que o enunciado dá são:
  • A corredora se movimenta em linha reta com velocidade média de módulo 5{,}00\\ \mathrm{m/s} durante 4{,}00\\ \mathrm{min}.
  • Em seguida ela tem velocidade média de módulo 4{,}00\\ \mathrm{m/s} durante 3{,}00\\ \mathrm{min}.
  • Preciso mostrar a posição x em função do tempo t, ou seja, desenhar/expressar x(t) com os pontos-chave do movimento.

Passo 2

Primeiro passo prático: passar os tempos para unidades compatíveis com as velocidades (velocidades estão em \mathrm{m/s}, então uso segundos).
  • 4{,}00\\ \mathrm{min} = 4{,}00\times 60 = 240\\ \mathrm{s}.
  • 3{,}00\\ \mathrm{min} = 3{,}00\times 60 = 180\\ \mathrm{s}.
    Logo o intervalo total de tempo vai de t=0 até t=240+180=420\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Agora explico a relação que usamos (a parte teórica mastigada): a velocidade média constante em uma direção significa que a posição x(t) varia linearmente com o tempo. Formalmente, quando a velocidade é constante v, temos
v=\frac{dx}{dt},
ou seja, a derivada da posição em relação ao tempo é a velocidade. Integrando (ou simplesmente lembrando a fórmula do movimento retilíneo uniforme) obtemos, para velocidade constante,
x(t)=x(t_0)+v\,(t-t_0),
onde x(t_0) é a posição no tempo inicial t_0. Aqui vou tomar x(0)=0 como origem (padrão conveniente para desenhar). Em palavras: graficamente x(t) é uma reta cujo coeficiente angular (inclinação) é a velocidade v. Quanto maior v, mais inclinada a reta.

Passo 4

Aplicando isso ao primeiro intervalo 0\le t\le 240\\ \mathrm{s}: a velocidade é v_1=5{,}00\\ \mathrm{m/s} e x(0)=0. Logo
x(t)=5{,}00\,t\qquad\text{para }0\le t\le 240.
Calculo alguns pontos para ajudar a desenhar:
  • x(0)=5{,}00\cdot 0=0\\ \mathrm{m}.
  • x(60)=5{,}00\cdot 60=300\\ \mathrm{m}.
  • x(120)=5{,}00\cdot 120=600\\ \mathrm{m}.
  • x(240)=5{,}00\cdot 240=1200\\ \mathrm{m}.
    O ponto t=240\\ \mathrm{s} (que é 4{,}00\\ \mathrm{min}) é chave: x(240)=1200\\ \mathrm{m}.

Passo 5

No segundo intervalo 240\le t\le 420\\ \mathrm{s}: a velocidade é v_2=4{,}00\\ \mathrm{m/s}. Uso a fórmula com t_0=240 e x(240)=1200\\ \mathrm{m}:
x(t)=1200 + 4{,}00\,(t-240)\qquad\text{para }240\le t\le 420.
Posso também expandir essa expressão:
x(t)=1200 + 4{,}00\,t - 4{,}00\cdot 240 = 4{,}00\,t + 240.
Calculo o fim do movimento: t=420\\ \mathrm{s}:
x(420)=1200 + 4{,}00\cdot(420-240)=1200 + 4{,}00\cdot 180=1200 + 720=1920\\ \mathrm{m}.
Alguns pontos úteis para plotar nessa reta:
  • x(300)=1200 + 4{,}00\cdot(300-240)=1200+4\cdot 60=1200+240=1440\\ \mathrm{m}.
  • x(420)=1920\\ \mathrm{m} (calculado acima).

Passo 6

Observações gráficas importantes (como desenhar corretamente):
  • O gráfico x(t) é composto por duas retas ligadas em t=240\\ \mathrm{s}. Ele é contínuo em t=240 (o valor da posição não “pula”): x(240) valendo 1200\\ \mathrm{m} em ambas as expressões.
  • A inclinação da primeira reta é 5{,}00 (mais íngreme); a da segunda é 4{,}00 (menos íngreme). Isso mostra que a corredora diminuiu a velocidade no segundo trecho.
  • Eixos e escala: no eixo horizontal coloque t em segundos (marcar 0,\\\ 60,\\\ 120,\\\ 180,\\\ 240,\\\ 300,\\\ 360,\\\ 420 s é útil). No eixo vertical coloque x em metros (marcar pelo menos até 2000\\ \mathrm{m}). Plote os pontos citados e ligue com retas. Coloque setas nos eixos e indique unidades.

Passo 7

Resumo final em forma de função por partes e pontos-chave para você conferir/usar no desenho: a função x(t)\) e os pontos relevantes são \[x(t)=\begin{cases} 5{,}00\,t, & 0\le t\le 240,\\[4pt] 1200 + 4{,}00\,(t-240)\\ \\ (\text{equivalente a }4{,}00\,t + 240), & 240\le t\le 420, \end{cases}
com x(0)=0\\ \mathrm{m}\], \(x(240)=1200\\ \mathrm{m} e x(420)=1920\\ \mathrm{m}. Desenhe as duas retas com essas inclinações e pontos de passagem para obter o gráfico pedido.]

Resposta

x(t)=\begin{cases} 5{,}00\,t, & 0\le t\le 240,\\[4pt] 1200 + 4{,}00\,(t-240)\\ (\text{equivalente a }4{,}00\,t + 240), & 240\le t\le 420, \end{cases}
x(0)=0\\ \mathrm{m}\newline
x(240)=1200\\ \mathrm{m}\newline
x(420)=1920\\ \mathrm{m}]

Exercícios relacionados