A correia de um aspirador de pó é enrolada sobre um eixo de raio igual a
e uma roda de raio igual a
. O motor faz o cixo girar com
e a correia faz a roda girar, que, por sua vez, está ligada a outro eixo que empurra a sujeira para fora do tapete que está sendo aspirado.Suponha que a correia não deslize nem sobre o eixo nem sobre a roda. Determine:
a velocidade angular da roda
?
a velocidade angular da roda
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve a rotação de uma correia em um aspirador de pó. A matéria que vamos usar aqui é cinemática rotacional, que estuda como os objetos se movem quando giram. Precisamos entender conceitos como velocidade angular e como elas se relacionam quando não há deslizamento na correia. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a gente tem no problema:
- Um eixo com raio $ r_A = 0,45 , cm $.
- Uma roda com raio $ r_B = 1,80 , cm $.
- O motor faz o eixo girar a $ 60,0 , rot/s $.
A nossa meta é encontrar a velocidade angular da roda $ \omega_B $ em rad/s.
Passo 3
Quando a correia não desliza nem no eixo nem na roda, a velocidade linear da correia é a mesma em ambos os elementos. A velocidade linear ($ v
\omega
r $) pela fórmula:
Isso significa que:
onde:
- $ \omega_A $ é a velocidade angular do eixo.
- $ \omega_B $ é a velocidade angular da roda.
Passo 4
Vamos calcular $ \omega_A $, a velocidade angular do eixo. A gente sabe que o motor gira a $ 60,0 , rot/s $. Para converter rotações por segundo em radianos por segundo, usamos:
Então:
Passo 5
Agora, sabemos que:
Queremos encontrar $ \omega_B $, então rearranjamos a equação:
Passo 6
Vamos substituir os valores que temos na equação:
Simplificando:
Resposta
A velocidade angular da roda é $ 30\pi , rad/s $.