Como correlacionam-se taxa de deformação e gradiente de velocidade de escoamento?
Passo 1
O enunciado pergunta como a taxa de deformação (ou tensor de taxa de deformação) se relaciona com o gradiente de velocidade num escoamento. O conteúdo é mecânica dos fluidos/continua: vamos precisar do conceito de tensor gradiente de velocidade e de sua decomposição em parte simétrica (deformação) e antissimétrica (rotação).
Passo 2
O gradiente de velocidade é o tensor cujas componentes são
ou seja, cada entrada diz como a componente
da velocidade varia na direção
.
Passo 3
A gente decompõe esse tensor em duas partes:
onde
Aqui
é a parte simétrica (taxa de deformação) e
a antissimétrica (rotação local).
Passo 4
Portanto a taxa de deformação é exatamente a parte simétrica do gradiente de velocidade:
Cada componente
mede a velocidade de alongamento ou cisalhamento entre as direções
e
.
Passo 5
No caso mais simples de escoamento unidirecional (por exemplo
), a única componente não nula de deformação de cisalhamento é
Ou seja, a taxa de deformação de cisalhamento coincide com o gradiente da velocidade nessa configuração.
Resposta
A taxa de deformação é a parte simétrica do gradiente de velocidade:
e, em escoamento unidirecional, a taxa de cisalhamento
vale