Como correlacionam-se taxa de deformação e gradiente de velocidade de escoamento?

Passo 1

O enunciado pergunta como a taxa de deformação (ou tensor de taxa de deformação) se relaciona com o gradiente de velocidade num escoamento. O conteúdo é mecânica dos fluidos/continua: vamos precisar do conceito de tensor gradiente de velocidade e de sua decomposição em parte simétrica (deformação) e antissimétrica (rotação).

Passo 2

O gradiente de velocidade é o tensor cujas componentes são
(nabla v)ij = partial vipartial xj
ou seja, cada entrada diz como a componente vi da velocidade varia na direção xj.

Passo 3

A gente decompõe esse tensor em duas partes:
nabla v = D + W,
onde
D = tfrac12l(nabla v + (nabla v)^Tr) e W = tfrac12l(nabla v - (nabla v)^Tr)
Aqui D é a parte simétrica (taxa de deformação) e W a antissimétrica (rotação local).

Passo 4

Portanto a taxa de deformação é exatamente a parte simétrica do gradiente de velocidade:
Dij = 12l(partial vipartial xj +partial vjpartial xir)
Cada componente Dij mede a velocidade de alongamento ou cisalhamento entre as direções i e j.

Passo 5

No caso mais simples de escoamento unidirecional (por exemplo vx=vx(y)), a única componente não nula de deformação de cisalhamento é
dotgamma ;=; Dxy ;=;partial vxpartial y
Ou seja, a taxa de deformação de cisalhamento coincide com o gradiente da velocidade nessa configuração.

Resposta

A taxa de deformação é a parte simétrica do gradiente de velocidade:
Dij = tfrac12l(partialjvi + partialivjr),
e, em escoamento unidirecional, a taxa de cisalhamento dotgamma vale
dotgamma = partial vxpartial y

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