- Uma corrente de
está carregando um capacitor de placas circulares com 5 cm de raio. A separação entre placas é de 2 mm . Encontre (a) a taxa de variação do fluxo de campo elétrico entre placas e (b) a corrente de deslocamento entre as placas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dados fornecidos:
- Corrente que está carregando o capacitor:
(peguei isso do enunciado). - Placas circulares de raio
(peguei isso do enunciado). - Separação entre placas
(peguei isso do enunciado).
- Corrente que está carregando o capacitor:
- O enunciado pede:
(a) a taxa de variação do fluxo do campo elétrico entre as placas, isto é;
(b) a corrente de deslocamento entre as placas,.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
-
é a carga no capacitor; a corrente de condução que carrega o capacitor é a derivada da carga:
Aqui
tem unidade de ampère (
) e
tem unidade de coulomb (
).
- Campo elétrico entre placas (aproximação de placas grandes e separação pequena): a densidade de carga superficial é
, onde é a área de uma placa. Para placas paralelas infinitas o campo entre as placas é . Aqui é a permissividade do vácuo, com valor aproximado . - Fluxo elétrico através da área da placa:
Como
, substituindo obtemos uma expressão simples para o fluxo:
Observação didática: reparou que a área
cancelou — por isso o fluxo total entre placas depende apenas da carga
(na aproximação de campo uniforme).
Passo 3
Derivando o fluxo no tempo para obter a taxa pedida:
- Diferenciando
em relação ao tempo:
- Usando
obtemos a relação muito útil:
Explicação: isso mostra que a taxa de variação do fluxo é diretamente proporcional à corrente que está carregando o capacitor; não precisamos do valor da área para essa taxa (novamente, dentro da aproximação de campo uniforme).
Passo 4
Cálculo numérico da taxa
:
- Substituindo os valores numéricos:
-
, -
.
-
- Fazendo a conta:
Observação sobre unidades: o fluxo elétrico tem unidades
, então sua derivada temporal tem unidade
.
Passo 5
Definição e cálculo da corrente de deslocamento:
- A corrente de deslocamento é definida por Maxwell como
- Substituindo a expressão que achamos em
Passo 6
- Assim, numericamente,
Comentário didático: isso é esperado — entre as placas não existe corrente de condução (não há condutor no espaço entre elas), mas a corrente de deslocamento completa a continuidade da corrente no circuito e tem exatamente o mesmo valor que a corrente que chega à placa.
Passo 7
(Vale a pena ver um número extra útil — taxa de variação do campo
.)
Se desejar a taxa temporal do campo elétrico , use
e note que
Se desejar a taxa temporal do campo elétrico
- Área das placas (para referência, pese embora não seja necessária para as respostas principais):
- Logo
(Isto só para dar intuição de quão rápido o campo muda numericamente.)
Resposta
(a)
(b)
(b)