1. Uma corrente de 0,100 \mathrm{~A} está carregando um capacitor de placas circulares com 5 cm de raio. A separação entre placas é de 2 mm . Encontre (a) a taxa de variação do fluxo de campo elétrico entre placas e (b) a corrente de deslocamento entre as placas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Corrente que está carregando o capacitor: I_{\text{cond}}=0{,}100\\ \mathrm{A} (peguei isso do enunciado).
    • Placas circulares de raio r=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m} (peguei isso do enunciado).
    • Separação entre placas d=2{,}0\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (peguei isso do enunciado).
  • O enunciado pede:
    (a) a taxa de variação do fluxo do campo elétrico entre as placas, isto é \dfrac{d\Phi_E}{dt};
    (b) a corrente de deslocamento entre as placas, I_{\text{d}}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Q(t) é a carga no capacitor; a corrente de condução que carrega o capacitor é a derivada da carga:
I_{\text{cond}}=\frac{dQ}{dt}.
Aqui I_{\text{cond}} tem unidade de ampère ( \mathrm{A}) e Q tem unidade de coulomb ( \mathrm{C}).
  • Campo elétrico entre placas (aproximação de placas grandes e separação pequena): a densidade de carga superficial é \sigma=\dfrac{Q}{A}, onde A é a área de uma placa. Para placas paralelas infinitas o campo entre as placas é E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}. Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, com valor aproximado \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Fluxo elétrico através da área da placa:
\Phi_E=\int \vec{E}\cdot d\vec{A}=E\,A.
Como E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}, substituindo obtemos uma expressão simples para o fluxo:
\Phi_E=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Observação didática: reparou que a área A cancelou — por isso o fluxo total entre placas depende apenas da carga Q (na aproximação de campo uniforme).

Passo 3

Derivando o fluxo no tempo para obter a taxa pedida:
  • Diferenciando \Phi_E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0} em relação ao tempo:
\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{1}{\varepsilon_0}\,\frac{dQ}{dt}.
  • Usando \dfrac{dQ}{dt}=I_{\text{cond}} obtemos a relação muito útil:
\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{I_{\text{cond}}}{\varepsilon_0}.
Explicação: isso mostra que a taxa de variação do fluxo é diretamente proporcional à corrente que está carregando o capacitor; não precisamos do valor da área para essa taxa (novamente, dentro da aproximação de campo uniforme).

Passo 4

Cálculo numérico da taxa \dfrac{d\Phi_E}{dt}:
  • Substituindo os valores numéricos:
    • I_{\text{cond}}=0{,}100\\ \mathrm{A},
    • \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{0{,}100}{8{,}854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{\left(\frac{N\cdot m^{2}}{C\cdot s}\right)}.
  • Fazendo a conta:
\frac{d\Phi_E}{dt}\approx 1{,}13\times10^{10}\\ \mathrm{\frac{N\cdot m^{2}}{C\cdot s}}.
Observação sobre unidades: o fluxo elétrico tem unidades \mathrm{N\cdot m^{2}/C}, então sua derivada temporal tem unidade \mathrm{N\cdot m^{2}/(C\cdot s)}.

Passo 5

Definição e cálculo da corrente de deslocamento:
  • A corrente de deslocamento é definida por Maxwell como
I_{\text{d}}=\varepsilon_0\,\frac{d\Phi_E}{dt}.
  • Substituindo a expressão que achamos em

Passo 6

I_{\text{d}}=\varepsilon_0\cdot\frac{I_{\text{cond}}}{\varepsilon_0}=I_{\text{cond}}.
  • Assim, numericamente,
I_{\text{d}}=0{,}100\\ \mathrm{A}.
Comentário didático: isso é esperado — entre as placas não existe corrente de condução (não há condutor no espaço entre elas), mas a corrente de deslocamento completa a continuidade da corrente no circuito e tem exatamente o mesmo valor que a corrente que chega à placa.

Passo 7

(Vale a pena ver um número extra útil — taxa de variação do campo E.)
Se desejar a taxa temporal do campo elétrico \dfrac{dE}{dt}, use E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A} e note que
\frac{dE}{dt}=\frac{1}{\varepsilon_0 A}\,\frac{dQ}{dt}=\frac{I_{\text{cond}}}{\varepsilon_0 A}.
  • Área das placas (para referência, pese embora não seja necessária para as respostas principais):
A=\pi r^{2}=\pi(0{,}05)^2\\ \mathrm{m^2}\approx 7{,}854\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
  • Logo
\frac{dE}{dt}\approx\frac{0{,}100}{8{,}854\times10^{-12}\cdot7{,}854\times10^{-3}}\approx 1{,}44\times10^{12}\\ \mathrm{V\,m^{-1}\,s^{-1}}.
(Isto só para dar intuição de quão rápido o campo muda numericamente.)

Resposta

(a) \dfrac{d\Phi_E}{dt}\approx 1{,}13\times10^{10}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/(C\cdot s)}
(b) I_{\text{d}}=0{,}100\\ \mathrm{A}

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