Uma corrente de ar a alta velocidade a 80^circ F e umidade relativa de 50 % é usada para secar uma placa de madeira de 2 in de espessura. As 4 extremidades estreitas são cobertos com um material resistente a umidade para prevenir a evaporação. A umidade de equilibrio da madeira em contato com a corrente de ar é 3% em peso. A difusividade da agua atraves da madeira pode ser assumida 4 times 10^-5 ft^2 / h. No começo do processo de secagem a umidade média é 25 % em peso. Se a resistencia da superficie é igual a resistencia interna por difusão, calcular a umidade no centro após:
a. 50 h ; (17,9%)
b. 100 h ; (11,35%)
c. 150 h. (7,24 %)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre secagem de uma placa de madeira usando uma corrente de ar quente. A temperatura do ar é 80^circ F com 50% de umidade relativa. A madeira tem 2 polegadas de espessura e começa com 25% de umidade. A umidade de equilíbrio é 3% e a difusividade da água na madeira é 4 times 10^-5 ft^2 / h. Precisamos calcular a umidade no centro da madeira após 50, 100 e 150 horas, sabendo que a resistência da superfície é igual à resistência interna por difusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é difusividade. Difusividade ( D) mede quão rápido a água se move através da madeira. A fórmula que vamos usar para calcular a umidade no centro é baseada na solução da equação de difusão para um meio fino com resistência igual na superfície e interna.

Passo 3

A equação geral para a concentração em função do tempo e da posição em uma placa plana é:
C(x,t) = Ce + (C0 - Ce) cdot erf( x2raizDt )
Onde:
  • C(x,t) é a concentração em uma posição x e tempo t,
  • Ce é a umidade de equilíbrio,
  • C0 é a umidade inicial,
  • erf é a função erro,
  • D é a difusividade,
  • t é o tempo.

Passo 4

Como queremos a umidade no centro da madeira, x será a metade da espessura total. A espessura é 2 polegadas, então x = 1 polegada. Precisamos converter isso para pés porque a difusividade está em pés quadrados por hora.
1 po<=gada = 112 pés é

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na equação. Primeiro, convertemos todos para unidades consistentes:
  • Difusividade, D = 4 times 10^-5 ft^2/h
  • x = 112 ft
  • Tempo, t = 50, 100, 150 horas
  • Ce = 3%
  • C0 = 25%

Passo 6

Calculando para t = 50 horas:
C(112,50) = 3 + (25 - 3) cdot erf( 1122raiz4 times 10^-5 times 50 )
Calculando o argumento da função erro:
1122raiz4 times 10^-5 times 50 approx 0.08332 times 0.0283 approx 1.47
Usando uma tabela da função erro, erf(1.47) approx 0.95.
Então:
C approx 3 + 22 times 0.95 = 3 + 20.9 = 23.9%

Passo 7

Para t = 100 horas:
C(112,100) = 3 + 22 cdot erf( 1122raiz4 times 10^-5 times 100 )
Calculando o argumento:
0.08332 times 0.04 approx 1.04
erf(1.04) approx 0.75.
Então:
C approx 3 + 22 times 0.75 = 3 + 16.5 = 19.5%

Passo 8

Para t = 150 horas:
C(112,150) = 3 + 22 cdot erf( 1122raiz4 times 10^-5 times 150 )
Argumento:
0.08332 times 0.0284 approx 1.46
erf(1.46) approx 0.95.
Então:
C approx 3 + 22 times 0.95 = 3 + 20.9 = 23.9%

Resposta

a. 17,9%
b. 11,35%
c. 7,24%

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