Num esforço para manter flores frescas em um evento, um florista propos manter flores individuais atada a uma espuma porosa. Uma esfera porosa,
in em diametro, inicialmente saturada com agua. A água difundirá para a superficie onde rapidamente evaporará a
em ar seco. A transferencia de massa da água será controlada pela taxa de difusão dentro da esfera. Se a difusividade efetiva sobre a esfera porosa é um terço do valor da difusividade do vapor de água através do ar, determine o tempo requerido para reduzir a umidade no centro da esfera de 0,2 para
em peso. (
)
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O problema fala sobre como manter flores frescas usando uma esfera porosa cheia de água. A ideia é que a água se difunda dessa esfera para a superfície e evapore no ar seco. Queremos descobrir quanto tempo leva para a umidade no centro da esfera diminuir de 0,2% para 0,1% em peso. Para resolver isso, vamos usar a teoria de difusão de massa, especificamente aplicando a lei de Fick para transferência de massa em esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
- Diâmetro da esfera porosa: $ \frac{1}{4} $ polegada.
- Difusividade efetiva na esfera: $ \frac{1}{3} $ da difusividade do vapor de água no ar.
- Temperatura: $ 75^{\circ} \mathrm{F} $ em ar seco.
- Objetivo: Reduzir a umidade do centro de 0,2% para 0,1% em peso.
Vamos converter o diâmetro para metros para facilitar os cálculos. Sabemos que 1 polegada é 0,0254 metros, então:
O raio $ r $ da esfera é metade do diâmetro:
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Fick para difusão em uma esfera. A Lei de Fick nos diz que a taxa de transferência de massa por difusão é proporcional ao gradiente de concentração. Para esferas, especialmente quando consideramos o tempo necessário para uma certa alteração na concentração no centro, podemos usar uma solução simplificada.
Uma abordagem comum é usar o tempo característico de difusão, que para uma esfera é dado por:
Onde:
- $ t $ é o tempo,
- $ r $ é o raio da esfera,
- $ D_{efetiva} $ é a difusividade efetiva do vapor de água na esfera.
Passo 4
Precisamos encontrar $ D_{efetiva} $. Foi dado que $ D_{efetiva} $ é um terço da difusividade do vapor de água no ar. Vamos chamar a difusividade do vapor de água no ar de $ D_{ar} $. Assim:
Ainda precisamos do valor de $ D_{ar} $. Infelizmente, o problema não fornece esse valor diretamente, mas é comum em problemas desse tipo usar valores padrão. Vamos assumir que $ D_{ar} $ para o vapor de água é aproximadamente $ 2,5 \times 10^{-5} , m^2/s $.
Então:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na equação do tempo:
Passo 6
No entanto, esse cálculo nos dá o tempo para a difusão completa, mas queremos reduzir a umidade do centro da esfera de 0,2% para 0,1%. Geralmente, quando lidamos com reduções de concentração pela metade, podemos considerar que o tempo necessário é aproximadamente a metade do tempo de difusão completa. Assim:
Arredondando para duas casas decimais, temos aproximadamente 0,61 segundos.
Resposta
O tempo requerido para reduzir a umidade no centro da esfera de 0,2% para 0,1% em peso é aproximadamente 0,51 segundos.