Usando a solução aproximada de von Kármán para resolver a camada limite laminar de concentração, um perfil de concentração deve ser assumido. A equação foi obtida com o perfil de concentração em série de potencia:
Aplicar as condições de contorno para camada limite de concentração laminar e avaliar as constantes a, b, ced.
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é a questão. Estamos lidando com a camada limite laminar de concentração e precisamos usar a solução aproximada de von Kármán para resolver essa camada. A equação que temos é uma série de potências para o perfil de concentração:
Nosso objetivo é aplicar as condições de contorno para essa camada limite laminar e encontrar os valores das constantes $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como funcionam as condições de contorno e como elas se aplicam a essa equação.
Passo 2
Vamos lembrar que, em problemas de camada limite, aplicamos condições de contorno no limite da camada (quando $ y = 0 $) e no fluxo livre (quando $ y = \delta_C $, onde $ \delta_C $ é a espessura da camada limite de concentração).
A equação fornecida para o perfil de concentração normalizado é:
Aqui, $ C_{A\infty} $ é a concentração no fluxo livre, e $ c_{As} $ é a concentração na superfície.
Passo 3
Vamos igualar a nossa série de potências à expressão fornecida:
Queremos encontrar os valores de $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $ que satisfaçam essa igualdade para todos os valores de $ y $.
Passo 4
Para isso, vamos reescrever a equação fornecida em termos de $ y $:
Podemos multiplicar ambos os lados por $ C_{A\infty} - c_{As} $ para simplificar:
Passo 5
Comparando com a nossa série de potências:
Podemos igualar os termos semelhantes de cada lado da equação:
- O termo constante: $ a = 0 $ (pois não há termo constante no lado direito)
- O termo linear em $ y $: $ b = \frac{3}{2} \cdot \frac{C_{A\infty} - c_{As}}{\delta_C} $
- O termo em $ y^2 $: Não há termo $ y^2 $ no lado direito, então $ c = 0 $
- O termo em $ y^3 $: $ d = -\frac{1}{2} \cdot \frac{C_{A\infty} - c_{As}}{\delta_C^3} $
Passo 6
Vamos resumir os valores das constantes:
- $ a = 0 $
- $ b = \frac{3}{2} \cdot \frac{C_{A\infty} - c_{As}}{\delta_C} $
- $ c = 0 $
- $ d = -\frac{1}{2} \cdot \frac{C_{A\infty} - c_{As}}{\delta_C^3} $
Resposta
As constantes são: