Usando a solução aproximada de von Kármán para resolver a camada limite laminar de concentração, um perfil de concentração deve ser assumido. A equação foi obtida com o perfil de concentração em série de potencia:
cA-cA, s=a+by+c y^2+d y^3
Aplicar as condições de contorno para camada limite de concentração laminar e avaliar as constantes a, b, ced. (cA-cAsCA infty-cAs=32 yde

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é a questão. Estamos lidando com a camada limite laminar de concentração e precisamos usar a solução aproximada de von Kármán para resolver essa camada. A equação que temos é uma série de potências para o perfil de concentração:
cA - cA,s = a + by + cy^2 + dy^3
Nosso objetivo é aplicar as condições de contorno para essa camada limite laminar e encontrar os valores das constantes $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como funcionam as condições de contorno e como elas se aplicam a essa equação.

Passo 2

Vamos lembrar que, em problemas de camada limite, aplicamos condições de contorno no limite da camada (quando $ y = 0 $) e no fluxo livre (quando $ y = \delta_C $, onde $ \delta_C $ é a espessura da camada limite de concentração).
A equação fornecida para o perfil de concentração normalizado é:
y = 0
Aqui, $ C_{A\infty} $ é a concentração no fluxo livre, e $ c_{As} $ é a concentração na superfície.

Passo 3

Vamos igualar a nossa série de potências à expressão fornecida:
a + by + cy^2 + dy^3 = 32 yde
Queremos encontrar os valores de $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $ que satisfaçam essa igualdade para todos os valores de $ y $.

Passo 4

Para isso, vamos reescrever a equação fornecida em termos de $ y $:
y
Podemos multiplicar ambos os lados por $ C_{A\infty} - c_{As} $ para simplificar:
cA - cAsCAinfty - cAs = 32 cdot yde

Passo 5

Comparando com a nossa série de potências:
cA - cAs = a + by + cy^2 + dy^3
Podemos igualar os termos semelhantes de cada lado da equação:
  • O termo constante: $ a = 0 $ (pois não há termo constante no lado direito)
  • O termo linear em $ y $: $ b = \frac{3}{2} \cdot \frac{C_{A\infty} - c_{As}}{\delta_C} $
  • O termo em $ y^2 $: Não há termo $ y^2 $ no lado direito, então $ c = 0 $
  • O termo em $ y^3 $: $ d = -\frac{1}{2} \cdot \frac{C_{A\infty} - c_{As}}{\delta_C^3} $

Passo 6

Vamos resumir os valores das constantes:
  • $ a = 0 $
  • $ b = \frac{3}{2} \cdot \frac{C_{A\infty} - c_{As}}{\delta_C} $
  • $ c = 0 $
  • $ d = -\frac{1}{2} \cdot \frac{C_{A\infty} - c_{As}}{\delta_C^3} $

Resposta

As constantes são:
a = 0
b = 32 cdot CAinfty - cAsde
c = 0
d = -12 cdot CAinfty - cAsde

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